Resolva as integrais das funções racionais:
a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com funções racionais, que são frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver esse tipo de integral, vamos precisar usar técnicas de frações parciais e conhecimento sobre integrais logarítmicas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da integral. Observamos que o numerador e o denominador são polinômios de primeiro grau. Podemos tentar expressar em termos de .

Passo 3

Vamos reescrever o numerador :
Isso porque:

Passo 4

Agora, substituímos essa expressão na integral original:
Podemos separar a fração:
Simplificando:

Passo 5

Agora, dividimos a integral em duas partes:
A primeira integral é simples:
Para a segunda integral, fazemos uma substituição. Seja , então ou . Substituindo:
Voltando para :

Passo 6

Juntando as duas partes da integral:

Resposta

A integral é igual a:

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Seja . Determine todas as retas tangentes ao gráfico de que passam pelo ponto