Resolva as integrais das funções racionais:
a) integral (x+1) d x2 x+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com funções racionais, que são frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver esse tipo de integral, vamos precisar usar técnicas de frações parciais e conhecimento sobre integrais logarítmicas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da integral. Observamos que o numerador e o denominador são polinômios de primeiro grau. Podemos tentar expressar em termos de .

Passo 3

Vamos reescrever o numerador x + 1 = 2x + 12 + 12 :
2x + 12 + 12 = 2x + 1 + 12 = 2x + 22 = x + 1
Isso porque:

Passo 4

Agora, substituímos essa expressão na integral original:
integral (x+1) , dx2x+1 = integral 2x + 12 + 122x + 1 , dx
Podemos separar a fração:
= integral ( 2x + 12(2x + 1) + 12(2x + 1) ) , dx
Simplificando:
= integral ( 12 + 12(2x + 1) ) , dx

Passo 5

Agora, dividimos a integral em duas partes:
= 12 integral dx + 12 integral 12x + 1 , dx
A primeira integral é simples:
12 integral dx = 12 x
Para a segunda integral, fazemos uma substituição. Seja 12 integral 1u cdot du2 = 14 integral 1u , du = 14 ln|u| + C , então 14 ln|2x + 1| + C ou . Substituindo:
Voltando para :

Passo 6

Juntando as duas partes da integral:
12 x + 14 ln|2x + 1| + C

Resposta

A integral 12 x + 14 ln|2x + 1| + C é igual a:

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