Calcule os seguintes limites:
lim x -infty 2 x-4x^3+x^2+7

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite quando tende a menos infinito da função . Estamos trabalhando com limites no infinito, especificamente com funções racionais (razão de polinômios).

Passo 2

Quando lidamos com limites onde vai para infinito ou menos infinito em funções racionais, o comportamento da função é determinado pelos termos de maior grau no numerador e no denominador. Isso porque, para valores muito grandes de , os termos de menor grau se tornam insignificantes.

Passo 3

No numerador, o termo de maior grau é , que é de grau 1. No denominador, o termo de maior grau é , que é de grau 3. Como o denominador tem um grau maior que o numerador, isso já nos dá uma dica sobre o comportamento do limite.

Passo 4

Para simplificar o cálculo, vamos dividir todos os termos do numerador e do denominador pelo termo de maior grau no denominador, que é lim x -infty 2x - 4x^3 + x^2 + 7 = lim x -infty 2xx^3 - 4x^3x^3x^3 + x^2x^3 + 7x^3 :
= lim x -infty 2x^2 - 4x^31 + 1x + 7x^3
Simplificando cada termo:

Passo 5

Agora, analisamos o comportamento de cada fração quando tende a menos infinito:
  • tende a 0, porque o denominador cresce sem limites.
  • também tende a 0, pelo mesmo motivo.
  • tende a 0.
  • tende a 0.

Passo 6

Substituindo esses limites na expressão simplificada:
lim x -infty 0 - 01 + 0 + 0 = 01 = 0

Resposta

O limite é igual a 0.

Exercícios relacionados