Mostre que
(observe que a função só está definida para
).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para mostrar que:
Aqui, estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar usar algumas propriedades de limites e a aproximação do seno para valores próximos de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando
está próximo de zero,
é aproximadamente igual a
. Essa é uma aproximação muito útil para simplificar expressões envolvendo senos perto de zero.
Então, podemos substituir
por
e
por
na expressão original. Vamos fazer isso:
Passo 3
Agora, analisamos o termo
. Usando a mesma aproximação, quando
está próximo de zero, temos
. Substituindo isso na expressão, ficamos com:
Passo 4
Então, ao aplicarmos essas aproximações, vimos que a expressão se simplifica para 1 quando
se aproxima de
. Isso confirma que o limite é realmente 1.
Resposta
Exercícios relacionados
Mostre, usando o produto de séries (Proposição 2.7), que se
então:
Determine o domínio das funções abaixo:
Considere uma série de potências
na qual os coeficientes se repetem ciclicamente,
, onde
é qualquer e
é fixado. Calcule seu raio de convergência e sua soma.
Determine o conjunto dos pontos de continuidade. Justifique.