Mostre que (observe que a função só está definida para ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para mostrar que:
Aqui, estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar usar algumas propriedades de limites e a aproximação do seno para valores próximos de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando está próximo de zero, é aproximadamente igual a . Essa é uma aproximação muito útil para simplificar expressões envolvendo senos perto de zero.
Então, podemos substituir por e por na expressão original. Vamos fazer isso:

Passo 3

Agora, analisamos o termo . Usando a mesma aproximação, quando está próximo de zero, temos . Substituindo isso na expressão, ficamos com:

Passo 4

Então, ao aplicarmos essas aproximações, vimos que a expressão se simplifica para 1 quando se aproxima de . Isso confirma que o limite é realmente 1.

Resposta

Exercícios relacionados

Mostre, usando o produto de séries (Proposição 2.7), que se então:
Determine o domínio das funções abaixo:
Considere uma série de potências na qual os coeficientes se repetem ciclicamente, , onde é qualquer e é fixado. Calcule seu raio de convergência e sua soma.
Determine o conjunto dos pontos de continuidade. Justifique.