Mostre que lim (x, y) (0,0) sen x ysen x sen y=1 (observe que a função só está definida para (x, y) neq(0,0) ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para mostrar que:
lim(x, y) (0,0) sin(x y)sin x sin y = 1
Aqui, estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar usar algumas propriedades de limites e a aproximação do seno para valores próximos de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando sin(x y)sin x sin y approx sin(x y)x y está próximo de zero, é aproximadamente igual a . Essa é uma aproximação muito útil para simplificar expressões envolvendo senos perto de zero.
Então, podemos substituir por e por na expressão original. Vamos fazer isso:

Passo 3

Agora, analisamos o termo x yx y = 1 . Usando a mesma aproximação, quando está próximo de zero, temos . Substituindo isso na expressão, ficamos com:

Passo 4

Então, ao aplicarmos essas aproximações, vimos que a expressão se simplifica para 1 quando se aproxima de . Isso confirma que o limite é realmente 1.

Resposta

lim(x, y) (0,0) sin(x y)sin x sin y = 1

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