Mostre, usando o produto de séries (Proposição 2.7), que se
então:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma função
que é representada por uma série de potências:
A pergunta quer que a gente mostre, usando o produto de séries (que é uma regra para multiplicar duas séries de potências), que:
Então, vamos precisar entender como multiplicar séries de potências e aplicar essa regra para chegar na expressão final.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a série de
. Sabemos que:
Isso é válido para
. Então, podemos reescrever o lado esquerdo da equação que queremos provar como o produto de duas séries:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a regra do produto de séries (Proposição 2.7). Essa regra nos diz que o produto de duas séries de potências é uma nova série onde o coeficiente de
é a soma dos produtos dos coeficientes que multiplicam para dar
.
Matematicamente, se temos:
Aplicando isso ao nosso caso:
Passo 4
Vamos detalhar um pouco mais essa soma interna. Para cada
, a soma
significa que estamos somando
. Isso é exatamente o que a questão quer mostrar no lado direito da equação.
Então, temos:
Resposta
Portanto, usando o produto de séries, mostramos que:
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Determine o domínio das funções abaixo:
Determine o conjunto dos pontos de continuidade. Justifique.
Mostre que
(observe que a função só está definida para
).
Considere uma série de potências
na qual os coeficientes se repetem ciclicamente,
, onde
é qualquer e
é fixado. Calcule seu raio de convergência e sua soma.