Mostre, usando o produto de séries (Proposição 2.7), que se então:

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma função que é representada por uma série de potências:
A pergunta quer que a gente mostre, usando o produto de séries (que é uma regra para multiplicar duas séries de potências), que:
Então, vamos precisar entender como multiplicar séries de potências e aplicar essa regra para chegar na expressão final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a série de . Sabemos que:
Isso é válido para . Então, podemos reescrever o lado esquerdo da equação que queremos provar como o produto de duas séries:

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra do produto de séries (Proposição 2.7). Essa regra nos diz que o produto de duas séries de potências é uma nova série onde o coeficiente de é a soma dos produtos dos coeficientes que multiplicam para dar .
Matematicamente, se temos:
Aplicando isso ao nosso caso:

Passo 4

Vamos detalhar um pouco mais essa soma interna. Para cada , a soma significa que estamos somando . Isso é exatamente o que a questão quer mostrar no lado direito da equação.
Então, temos:

Resposta

Portanto, usando o produto de séries, mostramos que:

Exercícios relacionados

Determine o domínio das funções abaixo:
Determine o conjunto dos pontos de continuidade. Justifique.
Mostre que (observe que a função só está definida para ).
Considere uma série de potências na qual os coeficientes se repetem ciclicamente, , onde é qualquer e é fixado. Calcule seu raio de convergência e sua soma.