Mostre, usando o produto de séries (Proposição 2.7), que se f(z)= sumn=0^infty an z^n então:
11-z f(z)=sumn=0^infty(a0+cdots+an) z^n

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma função f(z) = sumn=0^infty an z^n que é representada por uma série de potências:
11 - z f(z) = sumn=0^infty (a0 + a1 + cdots + an) z^n
A pergunta quer que a gente mostre, usando o produto de séries (que é uma regra para multiplicar duas séries de potências), que:
Então, vamos precisar entender como multiplicar séries de potências e aplicar essa regra para chegar na expressão final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a série de 11 - z = sumn=0^infty z^n . Sabemos que:
11 - z f(z) = ( sumn=0^infty z^n ) ( sumn=0^infty an z^n )
Isso é válido para . Então, podemos reescrever o lado esquerdo da equação que queremos provar como o produto de duas séries:

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra do produto de séries (Proposição 2.7). Essa regra nos diz que o produto de duas séries de potências é uma nova série onde o coeficiente de ( sumn=0^infty bn z^n ) ( sumn=0^infty cn z^n ) = sumn=0^infty ( sumk=0^n bk cn - k ) z^n é a soma dos produtos dos coeficientes que multiplicam para dar ( sumn=0^infty z^n ) ( sumn=0^infty an z^n ) = sumn=0^infty ( sumk=0^n ak ) z^n .
Matematicamente, se temos:
Aplicando isso ao nosso caso:

Passo 4

Vamos detalhar um pouco mais essa soma interna. Para cada 11 - z f(z) = sumn=0^infty ( a0 + a1 + cdots + an ) z^n , a soma significa que estamos somando . Isso é exatamente o que a questão quer mostrar no lado direito da equação.
Então, temos:

Resposta

Portanto, usando o produto de séries, mostramos que:
11 - z f(z) = sumn=0^infty (a0 + a1 + cdots + an) z^n

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