Determine o domínio, imagem, curvas de níveis (se pertinente) e gráfico das funções dadas. Use o geogebra para fazer a representação gráfica.
Passo 1
Vamos analisar o exercício: precisamos determinar o domínio, a imagem, as curvas de nível (se aplicável) e o gráfico da função dada, que é
. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como domínio de funções de várias variáveis, imagem, curvas de nível e representação gráfica usando ferramentas como o GeoGebra.
Passo 2
Determinando o Domínio:
O domínio de uma função é o conjunto de todos os possíveis valores de entrada (neste caso,
e
) para os quais a função está definida.
Na função
, o denominador
não pode ser igual a zero, pois divisão por zero não é definida. Portanto, devemos encontrar todos os valores de
e
que não fazem
.
Resolvendo
, temos
. Isso significa que qualquer par
onde
estará no domínio da função.
Dominio: Todos os pares
tais que
.
Passo 3
Determinando a Imagem:
A imagem de uma função é o conjunto de todos os possíveis valores de saída que a função pode assumir.
Vamos reescrever a função para facilitar a análise:
Observando essa expressão, vemos que
pode assumir qualquer valor real, dependendo dos valores de
e
. Não há restrições além das já impostas pelo domínio.
Imagem: Todos os números reais (
).
Passo 4
Determinando as Curvas de Nível:
As curvas de nível de uma função de duas variáveis são as curvas no plano
onde a função assume um valor constante.
Vamos fixar
, onde
é uma constante real.
Multiplicando ambos os lados por
(desde que
):
Distribuindo o
:
Rearranjando para isolar
:
Esta é a equação das curvas de nível para cada valor constante de
.
Passo 5
Representação Gráfica:
Para representar graficamente a função
, podemos utilizar o GeoGebra, que permite visualizar superfícies em 3D e suas curvas de nível.
-
Superfície da Função: No GeoGebra, insira a função
para visualizar a superfície tridimensional. -
Curvas de Nível: Utilize a equação das curvas de nível
para plotar diferentes curvas no plano para vários valores de . Isso ajudará a entender como a função se comporta para diferentes níveis. -
Análise Visual: Observe como a superfície se estende e como as curvas de nível se distribuem, identificando possíveis simetrias ou comportamentos particulares.
Resposta
O domínio da função
é o conjunto de todos os pares
tais que
. A imagem da função abrange todos os números reais (
). As curvas de nível são definidas por
para cada constante
. O gráfico da função pode ser visualizado utilizando o GeoGebra, onde é possível observar a superfície tridimensional e as diferentes curvas de nível correspondentes.