Determine o domínio, imagem, curvas de níveis (se pertinente) e gráfico das funções dadas. Use o geogebra para fazer a representação gráfica. f(x, y)=(x^2+1)/(x^2+y)

Passo 1

Vamos analisar o exercício: precisamos determinar o domínio, a imagem, as curvas de nível (se aplicável) e o gráfico da função dada, que é . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como domínio de funções de várias variáveis, imagem, curvas de nível e representação gráfica usando ferramentas como o GeoGebra.

Passo 2

Determinando o Domínio:
O domínio de uma função é o conjunto de todos os possíveis valores de entrada (neste caso, e ) para os quais a função está definida.
Na função , o denominador não pode ser igual a zero, pois divisão por zero não é definida. Portanto, devemos encontrar todos os valores de e que não fazem .
Resolvendo , temos . Isso significa que qualquer par onde estará no domínio da função.
Dominio: Todos os pares tais que .

Passo 3

Determinando a Imagem:
A imagem de uma função é o conjunto de todos os possíveis valores de saída que a função pode assumir.
Vamos reescrever a função para facilitar a análise:
Observando essa expressão, vemos que pode assumir qualquer valor real, dependendo dos valores de e . Não há restrições além das já impostas pelo domínio.
Imagem: Todos os números reais ( ).

Passo 4

Determinando as Curvas de Nível:
As curvas de nível de uma função de duas variáveis são as curvas no plano onde a função assume um valor constante.
Vamos fixar , onde é uma constante real.
Multiplicando ambos os lados por (desde que ):
Distribuindo o :
Rearranjando para isolar :
Esta é a equação das curvas de nível para cada valor constante de .

Passo 5

Representação Gráfica:
Para representar graficamente a função , podemos utilizar o GeoGebra, que permite visualizar superfícies em 3D e suas curvas de nível.
  1. Superfície da Função: No GeoGebra, insira a função para visualizar a superfície tridimensional.
  2. Curvas de Nível: Utilize a equação das curvas de nível para plotar diferentes curvas no plano para vários valores de . Isso ajudará a entender como a função se comporta para diferentes níveis.
  3. Análise Visual: Observe como a superfície se estende e como as curvas de nível se distribuem, identificando possíveis simetrias ou comportamentos particulares.

Resposta

O domínio da função é o conjunto de todos os pares tais que . A imagem da função abrange todos os números reais ( ). As curvas de nível são definidas por para cada constante . O gráfico da função pode ser visualizado utilizando o GeoGebra, onde é possível observar a superfície tridimensional e as diferentes curvas de nível correspondentes.

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