Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das funções dadas. f(x, y) = { (y + x^4) / (x^2 + y^2) se (x, y) ≠ (0, 0), 0 se (x, y) = (0, 0) }

Passo 1

Beleza! O exercício pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função , que está definida de forma diferente para e para . Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a regra do quociente para derivadas, e a definição de derivadas parciais no ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a função quando , ou seja:
Aqui, precisamos calcular e . Como temos uma fração, vamos aplicar a regra do quociente, que nos diz que:
E de igual jeito para .

Passo 3

Vamos calcular :
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos calcular :
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando:

Passo 5

Agora precisamos calcular as derivadas parciais no ponto . Para isso, usamos a definição de derivada parcial:

Passo 6

Calculando :
Então:

Passo 7

Calculando :
Então:
Esse limite não existe (vai para infinito), então a derivada parcial em não está definida.

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
Para :
No ponto :
ãá

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