Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das funções dadas.
Passo 1
Beleza! O exercício pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função
, que está definida de forma diferente para
e para
. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a regra do quociente para derivadas, e a definição de derivadas parciais no ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar a função quando
, ou seja:
Aqui, precisamos calcular
e
. Como temos uma fração, vamos aplicar a regra do quociente, que nos diz que:
E de igual jeito para
.
Passo 3
Vamos calcular
:
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos calcular
:
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando:
Passo 5
Agora precisamos calcular as derivadas parciais no ponto
. Para isso, usamos a definição de derivada parcial:
Passo 6
Calculando
:
Então:
Passo 7
Calculando
:
Então:
Esse limite não existe (vai para infinito), então a derivada parcial
em
não está definida.
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função
são:
Para
:
No ponto
:
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