Determine o domínio, a imagem da função, e esboce o gráfico: © y = (x^2 - 4) / (x - 2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o domínio, a imagem da função e esboçar o gráfico da função . Para isso, vamos usar conceitos de funções racionais, onde a gente analisa onde a função está definida, quais valores ela pode assumir e como ela se comporta no gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Como temos uma fração, precisamos garantir que o denominador não seja zero, porque divisão por zero não é permitida.
Então, vamos igualar o denominador a zero e resolver:
Isso significa que quando , a função não está definida. Portanto, o domínio da função é todos os números reais menos .

Passo 3

Agora, vamos determinar a imagem da função, que é o conjunto de todos os valores possíveis de que a função pode assumir.
Para facilitar, vamos simplificar a função:
Perceba que o numerador pode ser fatorado:
Substituindo na função:
Aqui, podemos simplificar que está no numerador e no denominador, mas lembrando que . Então, a função simplificada é:
Essa é a equação de uma reta, que pode assumir todos os valores de possíveis. Porém, como no ponto a função não está definida, o valor de correspondente a também não está na imagem.
Calculando quando :
Portanto, a imagem da função é todos os números reais menos .

Passo 4

Vamos agora esboçar o gráfico da função. Como vimos, a função simplificada é , que é uma reta. No entanto, temos uma restrição: o ponto não está no domínio, então no gráfico teremos um “buraco” nesse ponto.
Para desenhar:
  1. Trace a reta .
  2. Marque um ponto aberto (um círculo vazio) em indicando que esse ponto não pertence ao gráfico.
Isso dá uma boa representação visual da função, mostrando que ela se comporta como uma reta normal, exceto em .

Resposta

  • Domínio: Todos os números reais exceto , ou seja, .
  • Imagem: Todos os números reais exceto , ou seja, .
  • Gráfico: Uma reta definida pela equação com um ponto removido em .

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