Determine o domínio, a imagem da função, e esboce o gráfico: (a)
Passo 1
Primeiro, a gente vai entender o que a questão pede: encontrar o domínio, a imagem da função e desenhar o gráfico da função
. Isso está relacionado ao estudo de funções matemáticas, onde domínio significa todos os valores de
que a função pode ter, e imagem são todos os valores de
que a função pode produzir. Vamos precisar entender como funções de raiz quadrada funcionam para resolver isso.
Passo 2
Vamos começar encontrando o domínio da função. Como temos uma raiz quadrada, o que está dentro da raiz,
, precisa ser maior ou igual a zero. Isso porque a raiz quadrada de um número negativo não é um número real.
Passo 3
Resolvendo a desigualdade:
Então, todos os valores de
menores ou iguais a 2 fazem parte do domínio.
Passo 4
Agora, vamos determinar a imagem da função, ou seja, os valores de
que a função pode assumir. Como a raiz quadrada sempre dá um resultado maior ou igual a zero, temos:
Então, os valores de
começam em 0 e vão até um máximo que dependerá do menor valor de
.
Passo 5
Vamos analisar qual é o valor máximo de
. Quando
é o menor possível dentro do domínio. Se
tende a menos infinito,
tende a mais infinito, mas como estamos trabalhando com números reais, vamos considerar
, o que faz
tender a infinito. Porém, na prática, para valores reais de
,
pode crescer sem limite, mas a imagem é todos os
maiores ou iguais a 0.
Passo 6
Por fim, vamos esboçar o gráfico da função
. Sabemos que é a metade superior de uma parábola virada para a esquerda. Para desenhar, basta plotar alguns pontos:
- Quando
, . - Quando
, . - Quando
, . - Quando
, .
E assim por diante, conectando esses pontos com uma curva suave.
Resposta
Domínio:
; Imagem:
. O gráfico é a metade superior de uma parábola deslocada para a esquerda, iniciando no ponto (2, 0) e estendendo-se para a esquerda.