Determine o domínio, a imagem da funçâo, e esboce o gráfico: y = { x^2 - 4 se x < 3, 2x - 1 se 3 <= x }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar o domínio (todos os valores de que podemos colocar na função), a imagem (todos os valores de que a função pode produzir) e esboçar o gráfico da função dada:
Para isso, vamos usar conceitos de funções por partes, entender como cada pedaço se comporta e juntá-los no gráfico final.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.
Aqui, temos duas partes:
  1. quando
  2. quando
Não há restrições, então o domínio é todos os números reais:
í

Passo 3

Agora, vamos achar a imagem da função, ou seja, todos os valores possíveis de .
Primeiro, para :
Como é sempre positivo ou zero, vai variar de para infinito à medida que se afasta de 0.
Para :
Essa é uma reta crescente que começa em . Quando , , e conforme aumenta, também aumenta sem limites.
Então, combinando as duas partes, a imagem é:

Passo 4

Vamos esboçar o gráfico da função. Primeiro, desenhamos as duas partes separadamente.
  1. Para :
    • A função é , que é uma parábola com vértice em .
    • Ela se abre para cima.
    • Não inclui o ponto onde .
  2. Para :
    • A função é , uma reta com inclinação 2 e intercepto em .
    • Começa no ponto e vai para cima.
Finalmente, unimos as duas partes no gráfico, certificando-nos de que na transição em , as duas partes se encontram no ponto .

Resposta

íáá

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