Determine o domínio, a imagem da funçâo, e esboce o gráfico:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar o domínio (todos os valores de
que podemos colocar na função), a imagem (todos os valores de
que a função pode produzir) e esboçar o gráfico da função dada:
Para isso, vamos usar conceitos de funções por partes, entender como cada pedaço se comporta e juntá-los no gráfico final.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida.
Aqui, temos duas partes:
-
quando -
quando
Não há restrições, então o domínio é todos os números reais:
Passo 3
Agora, vamos achar a imagem da função, ou seja, todos os valores possíveis de
.
Primeiro, para
:
Como
é sempre positivo ou zero,
vai variar de
para infinito à medida que
se afasta de 0.
Para
:
Essa é uma reta crescente que começa em
. Quando
,
, e conforme
aumenta,
também aumenta sem limites.
Então, combinando as duas partes, a imagem é:
Passo 4
Vamos esboçar o gráfico da função. Primeiro, desenhamos as duas partes separadamente.
-
Para
: - A função é
, que é uma parábola com vértice em . - Ela se abre para cima.
- Não inclui o ponto onde
.
- A função é
-
Para
: - A função é
, uma reta com inclinação 2 e intercepto em . - Começa no ponto
e vai para cima.
- A função é
Finalmente, unimos as duas partes no gráfico, certificando-nos de que na transição em
, as duas partes se encontram no ponto
.