Determine o domínio, a imagem da funçâo, e esboce o gráfico:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar o domínio, a imagem da função e esboçar o gráfico da função dada por:
Aqui, vamos utilizar conceitos de funções por partes, domínio, imagem e gráficos de funções lineares.
Passo 2
Determinar o domínio da função.
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida.
Analisando a função:
- Para
, a função é definida como , que é uma função linear válida para todos os números reais. - Para
, a função é definida como .
Não há valores de
para os quais a função não esteja definida. Portanto, o domínio da função é todos os números reais.
Passo 3
Determinar a imagem da função.
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores de
que a função pode assumir.
Analisando a função:
- Para
, . Essa expressão pode gerar qualquer número real menos o valor correspondente a , que seria . - Para
, .
Portanto, a função pode assumir todos os valores reais exceto
, já que nesse ponto específico,
não é igual a 2, mas sim a -2.
Passo 4
Esboçar o gráfico da função.
Para esboçar o gráfico:
- Desenhe a reta
, que é uma linha reta com inclinação 1 e intercepto em . - Identifique o ponto onde
. Nessa posição, ao invés de , temos . Portanto: - Remova o ponto
da reta, representando isso com um círculo aberto. - Adicione o ponto
na posição correspondente, representando isso com um ponto fechado.
- Remova o ponto
Esse desenho mostra a função linear com uma “lacuna” em
e um ponto isolado nesse valor de
.
Resposta
- Domínio:
(todos os números reais). - Imagem:
(todos os números reais exceto 2). - Gráfico: Uma reta
com um círculo aberto em e um ponto fechado em .