Determine o domínio, a imagem da funçâo, e esboce o gráfico: y = { x + 1 se x ≠ 1; -2 se x = 1 }

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar o domínio, a imagem da função e esboçar o gráfico da função dada por:
Aqui, vamos utilizar conceitos de funções por partes, domínio, imagem e gráficos de funções lineares.

Passo 2

Determinar o domínio da função.
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.
Analisando a função:
  • Para , a função é definida como , que é uma função linear válida para todos os números reais.
  • Para , a função é definida como .
Não há valores de para os quais a função não esteja definida. Portanto, o domínio da função é todos os números reais.
í

Passo 3

Determinar a imagem da função.
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores de que a função pode assumir.
Analisando a função:
  • Para , . Essa expressão pode gerar qualquer número real menos o valor correspondente a , que seria .
  • Para , .
Portanto, a função pode assumir todos os valores reais exceto , já que nesse ponto específico, não é igual a 2, mas sim a -2.

Passo 4

Esboçar o gráfico da função.
Para esboçar o gráfico:
  1. Desenhe a reta , que é uma linha reta com inclinação 1 e intercepto em .
  2. Identifique o ponto onde . Nessa posição, ao invés de , temos . Portanto:
    • Remova o ponto da reta, representando isso com um círculo aberto.
    • Adicione o ponto na posição correspondente, representando isso com um ponto fechado.
Esse desenho mostra a função linear com uma “lacuna” em e um ponto isolado nesse valor de .

Resposta

  • Domínio: (todos os números reais).
  • Imagem: (todos os números reais exceto 2).
  • Gráfico: Uma reta com um círculo aberto em e um ponto fechado em .

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