Determine o domínio e a imagem da função .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o domínio e a imagem da função .
Conteúdo envolvido:
  • Domínio: Conjunto de todos os valores possíveis de e que fazem a função valer de verdade (ou seja, para os quais a função está definida).
  • Imagem: Conjunto de todos os valores possíveis de que a função pode assumir, ou seja, os resultados da função.
Vamos precisar entender um pouquinho sobre funções exponenciais e restrições que possam existir para e .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é simplesmente todos os valores de e que a gente pode colocar na função sem ter problemas, como divisões por zero ou raízes quadradas de números negativos.
Nossa função é . A função exponencial está definida para todo número real . Isso significa que não temos restrições para e ; podemos escolher qualquer número real para e qualquer número real para , e a função vai estar bem.
Resumo do domínio:
  • pertence a todos os números reais.
  • pertence a todos os números reais.

Passo 3

Agora, vamos determinar a imagem da função, ou seja, todos os possíveis valores de que podem resultar dessa função.
A função é . Sabemos que o expoente é sempre maior ou igual a zero, porque quadrados de números reais nunca são negativos.
Então, temos:
A função exponencial é sempre positiva para qualquer . Além disso, quando , . E conforme aumenta, cresce sem limites.
Portanto:
  • O menor valor que pode assumir é (quando e ).
  • Não há um maior valor fixo; pode crescer indefinidamente.

Passo 4

Resumindo:
  • Domínio da função: Todos os pares ordenados onde e são números reais.
    í
  • Imagem da função: Todos os números reais maiores ou iguais a .

Resposta

O domínio da função é e a imagem é .

Exercícios relacionados

triângulo , retângulo em , está contido em um plano . Sobre a perpendicular a traçada por tomamos um ponto . Por traçamos, por sua vez, as perpendiculares e a e , respectivamente. Mostre que:
a) é perpendicular a ;
b) é perpendicular a ;
c) é perpendicular a EF.
O preço de revenda de certa máquina descreve em um período de 10 anos, segundo uma taxa que depende do tempo de uso da máquina. Quando a máquina tem anos de uso, a taxa de variação do seu valor é reais por ano. Expresse o valor da máquina como função do tempo de uso e do valor inicial. Se a máquina valia originalmente R , quanto valerá quando tiver 10 anos de uso?
Esboce o gráfico do domínio da função .
Essa função está definida para os pares ordenados do tipo , sendo um número real?