Determine o domínio e a imagem da função
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o domínio e a imagem da função
.
Conteúdo envolvido:
- Domínio: Conjunto de todos os valores possíveis de
e que fazem a função valer de verdade (ou seja, para os quais a função está definida). - Imagem: Conjunto de todos os valores possíveis de
que a função pode assumir, ou seja, os resultados da função.
Vamos precisar entender um pouquinho sobre funções exponenciais e restrições que possam existir para
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é simplesmente todos os valores de
e
que a gente pode colocar na função sem ter problemas, como divisões por zero ou raízes quadradas de números negativos.
Nossa função é
. A função exponencial
está definida para todo número real
. Isso significa que não temos restrições para
e
; podemos escolher qualquer número real para
e qualquer número real para
, e a função vai estar bem.
Resumo do domínio:
-
pertence a todos os números reais. -
pertence a todos os números reais.
Passo 3
Agora, vamos determinar a imagem da função, ou seja, todos os possíveis valores de
que podem resultar dessa função.
A função é
. Sabemos que o expoente
é sempre maior ou igual a zero, porque quadrados de números reais nunca são negativos.
Então, temos:
A função exponencial
é sempre positiva para qualquer
. Além disso, quando
,
. E conforme
aumenta,
cresce sem limites.
Portanto:
- O menor valor que
pode assumir é (quando e ). - Não há um maior valor fixo;
pode crescer indefinidamente.
Passo 4
Resumindo:
-
Domínio da função: Todos os pares ordenados
onde e são números reais. -
Imagem da função: Todos os números reais
maiores ou iguais a .
Resposta
O domínio da função é
e a imagem é
.
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a)
b)
c)
O preço de revenda de certa máquina descreve em um período de 10 anos, segundo uma taxa que depende do tempo de uso da máquina. Quando a máquina tem
anos de uso, a taxa de variação do seu valor é
reais por ano. Expresse o valor da máquina como função do tempo de uso e do valor inicial. Se a máquina valia originalmente R
, quanto valerá quando tiver 10 anos de uso?
Esboce o gráfico do domínio da função
.
Essa função está definida para os pares ordenados do tipo
, sendo
um número real?