Determine o domínio e a imagem da função z = e^(x^2 + y^2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o domínio e a imagem da função .
Conteúdo envolvido:
  • Domínio: Conjunto de todos os valores possíveis de e que fazem a função valer de verdade (ou seja, para os quais a função está definida).
  • Imagem: Conjunto de todos os valores possíveis de que a função pode assumir, ou seja, os resultados da função.
Vamos precisar entender um pouquinho sobre funções exponenciais e restrições que possam existir para e .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é simplesmente todos os valores de e que a gente pode colocar na função sem ter problemas, como divisões por zero ou raízes quadradas de números negativos.
Nossa função é . A função exponencial está definida para todo número real . Isso significa que não temos restrições para e ; podemos escolher qualquer número real para e qualquer número real para , e a função vai estar bem.
Resumo do domínio:
  • pertence a todos os números reais.
  • pertence a todos os números reais.

Passo 3

Agora, vamos determinar a imagem da função, ou seja, todos os possíveis valores de que podem resultar dessa função.
A função é . Sabemos que o expoente é sempre maior ou igual a zero, porque quadrados de números reais nunca são negativos.
Então, temos:
A função exponencial é sempre positiva para qualquer . Além disso, quando , . E conforme aumenta, cresce sem limites.
Portanto:
  • O menor valor que pode assumir é (quando e ).
  • Não há um maior valor fixo; pode crescer indefinidamente.

Passo 4

Resumindo:
  • Domínio da função: Todos os pares ordenados onde e são números reais.
    í
  • Imagem da função: Todos os números reais maiores ou iguais a .

Resposta

O domínio da função é e a imagem é .

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