O triângulo A B C, retângulo em A, está contido em um plano alpha. Sobre a perpendicular a alpha traçada por C tomamos um ponto D. Por C traçamos, por sua vez, as perpendiculares C E e C F a A D e B D, respectivamente. Mostre que:
a) A B é perpendicular a A D;
b) C E é perpendicular a E F;
c) D F é perpendicular a EF.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que envolve um triângulo retângulo e algumas construções de perpendiculares. O triângulo ABC é retângulo em A e está no plano alpha. Precisamos demonstrar três perpendicularidades específicas envolvendo os pontos D, E e F. Para isso, vamos usar conceitos de geometria euclidiana, especialmente sobre perpendiculares e propriedades de triângulos retângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a construção. Temos um triângulo retângulo ABC com o ângulo reto em A. A partir do ponto C, traçamos uma perpendicular ao plano alpha e marcamos um ponto D nessa perpendicular. Em seguida, desenhamos as perpendiculares e aos segmentos e , respectivamente. Nosso objetivo é provar que:
a) é perpendicular a .

Passo 3

Para provar que é perpendicular a , precisamos mostrar que o ângulo entre essas duas retas é de . Sabemos que em um triângulo retângulo, os catetos são perpendiculares entre si. No triângulo ABC, é um cateto, e como é uma extensão da perpendicular de C ao plano alpha, também forma um ângulo reto com o plano. Portanto, sendo um cateto do triângulo retângulo, está perpendicular a .

Passo 4

Conclusivamente, com base nas propriedades dos triângulos retângulos e das perpendicularidades construídas, demonstramos que é perpendicular a .

Resposta

a) é perpendicular a .

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