O preço de revenda de certa máquina descreve em um período de 10 anos, segundo uma taxa que depende do tempo de uso da máquina. Quando a máquina tem t anos de uso, a taxa de variação do seu valor é 220(t-10) reais por ano. Expresse o valor da máquina como função do tempo de uso e do valor inicial. Se a máquina valia originalmente R \$, quanto valerá quando tiver 10 anos de uso?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que o preço de revenda de uma máquina varia com o tempo de uso. A taxa de variação do valor da máquina é dada por reais por ano, onde é o tempo de uso em anos. Nosso objetivo é expressar o valor da máquina em função do tempo e do valor inicial, que é de R$12.000,00. Depois, vamos descobrir quanto essa máquina valerá após 10 anos de uso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a taxa de variação do valor da máquina, , nos indica como o valor da máquina muda ao longo do tempo. Para encontrar a função , que representa o valor da máquina em função do tempo, vamos integrar essa taxa de variação.

Passo 3

Integrando , temos:
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 4

Distribuindo o 220 dentro do parênteses:
Agora, integremos cada termo separadamente.

Passo 5

Integrando em relação a :
E integrando em relação a :
Então, juntando tudo:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Para encontrar o valor de , usamos a condição inicial fornecida: quando , . Substituindo na equação:
Então, a função fica:

Passo 7

Agora, queremos saber quanto a máquina valerá após 10 anos de uso, ou seja, . Vamos substituir na função:
Calculando cada termo:
Então:

Resposta

Após 10 anos de uso, a máquina valerá R$1.000,00.

Exercícios relacionados