O preço de revenda de certa máquina descreve em um período de 10 anos, segundo uma taxa que depende do tempo de uso da máquina. Quando a máquina tem
anos de uso, a taxa de variação do seu valor é
reais por ano. Expresse o valor da máquina como função do tempo de uso e do valor inicial. Se a máquina valia originalmente R
, quanto valerá quando tiver 10 anos de uso?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que o preço de revenda de uma máquina varia com o tempo de uso. A taxa de variação do valor da máquina é dada por
reais por ano, onde
é o tempo de uso em anos. Nosso objetivo é expressar o valor da máquina em função do tempo e do valor inicial, que é de R$12.000,00. Depois, vamos descobrir quanto essa máquina valerá após 10 anos de uso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que a taxa de variação do valor da máquina,
, nos indica como o valor da máquina muda ao longo do tempo. Para encontrar a função
, que representa o valor da máquina em função do tempo, vamos integrar essa taxa de variação.
Passo 3
Integrando
, temos:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 4
Distribuindo o 220 dentro do parênteses:
Agora, integremos cada termo separadamente.
Passo 5
Integrando
em relação a
:
E integrando
em relação a
:
Então, juntando tudo:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Para encontrar o valor de
, usamos a condição inicial fornecida: quando
,
. Substituindo na equação:
Então, a função fica:
Passo 7
Agora, queremos saber quanto a máquina valerá após 10 anos de uso, ou seja,
. Vamos substituir
na função:
Calculando cada termo:
Então:
Resposta
Após 10 anos de uso, a máquina valerá R$1.000,00.
Exercícios relacionados
Uma máquina deprecia com o tempo. Depois de 5 anos de uso, ela tem seu valor reduzido em
do valor inicial. Considerando que a taxa de desvalorização seja proporcional ao valor da máquina, pergunta-se:
Uma pessoa deposita uma quantia de
uma aplicação bancária que, em três anos resulta em R
. Determinar:
a)
b)
c)
Determine o domínio e a imagem da função
.