Determine o domínio e a imagem da seguinte função definida em partes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o domínio e a imagem de uma função que está definida em duas partes diferentes. A função é uma função definida por partes, que envolve radicais (raízes quadradas). Para resolver isso, vamos precisar entender o que é domínio e imagem de uma função e como trabalhar com funções definidas por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
que podemos colocar na função sem causar problemas, como tirar a raiz de um número negativo.
A função está definida em duas partes:
-
quando -
quando
Para cada parte, precisamos ver quais valores de
são permitidos.
-
Primeira parte:
- Dentro da raiz,
deve ser maior ou igual a zero: - Isso implica que
- Já temos que
, então essa parte está ok.
- Dentro da raiz,
-
Segunda parte:
- Dentro da raiz,
deve ser maior ou igual a zero: - E também temos
, então essa parte também está ok.
- Dentro da raiz,
Portanto, o domínio da função é todos os valores de
entre -4 e 4, inclusive.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a imagem da função, que é o conjunto de todos os valores de
que a função pode assumir.
Vamos analisar cada parte da função:
-
Primeira parte:
onde - Vamos substituir
pelos extremos do intervalo: - Quando
, - Quando
,
- Quando
- À medida que
varia de -4 a 0, varia de 2 a 0.
- Vamos substituir
-
Segunda parte:
onde - Substituindo os extremos:
- Quando
, - Quando
,
- Quando
- À medida que
varia de 0 a 4, varia de 0 a 2.
- Substituindo os extremos:
Então, combinando as duas partes, a imagem da função vai de 0 a 2.
Resposta
O domínio da função é
e a imagem é
.
Exercícios relacionados
Utilizando a definição da derivada, encontre
se
.
Prove que
.
Encontre as funções (a)
, (b)
, ©
e (d)
e seus domínios.