Determine o domínio e a imagem da seguinte função definida em partes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o domínio e a imagem de uma função que está definida em duas partes diferentes. A função é uma função definida por partes, que envolve radicais (raízes quadradas). Para resolver isso, vamos precisar entender o que é domínio e imagem de uma função e como trabalhar com funções definidas por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de que podemos colocar na função sem causar problemas, como tirar a raiz de um número negativo.
A função está definida em duas partes:
  1. quando
  2. quando
Para cada parte, precisamos ver quais valores de são permitidos.
  • Primeira parte:
    • Dentro da raiz, deve ser maior ou igual a zero:
    • Isso implica que
    • Já temos que , então essa parte está ok.
  • Segunda parte:
    • Dentro da raiz, deve ser maior ou igual a zero:
    • E também temos , então essa parte também está ok.
Portanto, o domínio da função é todos os valores de entre -4 e 4, inclusive.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a imagem da função, que é o conjunto de todos os valores de que a função pode assumir.
Vamos analisar cada parte da função:
  • Primeira parte: onde
    • Vamos substituir pelos extremos do intervalo:
      • Quando ,
      • Quando ,
    • À medida que varia de -4 a 0, varia de 2 a 0.
  • Segunda parte: onde
    • Substituindo os extremos:
      • Quando ,
      • Quando ,
    • À medida que varia de 0 a 4, varia de 0 a 2.
Então, combinando as duas partes, a imagem da função vai de 0 a 2.

Resposta

O domínio da função é e a imagem é .

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Utilizando a definição da derivada, encontre se .
Prove que .
Encontre as funções (a) , (b) , © e (d) e seus domínios.