Utilizando a definição da derivada, encontre f'(x) se f(x) = (1 - x) / (2 + x).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada de usando a definição de derivada. Isso está dentro do conteúdo de cálculo diferencial. Para isso, vamos precisar aplicar a fórmula da derivada pelo limite.

Passo 2

A definição da derivada de uma função em um ponto é dada por:
Isso significa que vamos calcular o limite da razão da variação da função em relação à variação da variável, quando essa variação tende a zero.

Passo 3

Vamos aplicar a definição à nossa função. Primeiro, calculamos :
Então, a diferença fica:

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão. Para subtrair as frações, encontramos um denominador comum:
Expandindo os numeradores:
Percebemos que se cancela:

Passo 5

Agora, substituímos de volta na definição da derivada:
Como , a expressão tende a :

Resposta

A derivada de é:

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