Utilizando a definição da derivada, encontre
se
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada de
usando a definição de derivada. Isso está dentro do conteúdo de cálculo diferencial. Para isso, vamos precisar aplicar a fórmula da derivada pelo limite.
Passo 2
A definição da derivada de uma função
em um ponto
é dada por:
Isso significa que vamos calcular o limite da razão da variação da função em relação à variação da variável, quando essa variação tende a zero.
Passo 3
Vamos aplicar a definição à nossa função. Primeiro, calculamos
:
Então, a diferença
fica:
Passo 4
Vamos simplificar essa expressão. Para subtrair as frações, encontramos um denominador comum:
Expandindo os numeradores:
Percebemos que
se cancela:
Passo 5
Agora, substituímos de volta na definição da derivada:
Como
, a expressão
tende a
:
Resposta
A derivada de
é:
Exercícios relacionados
Prove que
.
Prove que (Dica: Após aplicar a definição da derivada somar e subtrair ao numerador
Determine o domínio e a imagem da seguinte função definida em partes.
Encontre as funções (a)
, (b)
, ©
e (d)
e seus domínios.