Encontre as funções (a)
, (b)
, ©
e (d)
e seus domínios.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que trata de composição de funções. A gente vai encontrar as funções compostas
,
,
e
, além de determinar os domínios de cada uma delas. Para isso, precisamos entender como compor funções e verificar as restrições de cada função individualmente.
Passo 2
Vamos começar com a composição
, que significa pegar a função
e usar o resultado como entrada para a função
.
A função
e
.
Então:
Agora, precisamos determinar o domínio dessa função composta. A função
exige que
. Portanto, o interior da raiz quadrada, que é
, deve ser maior ou igual a zero:
Além disso, a função
está definida para todo
real, já que a raiz cúbica aceita qualquer número real.
Então, o domínio de
é
.
Passo 3
Agora, vamos para a composição
, que significa pegar a função
e usar o resultado como entrada para a função
.
Então:
Para encontrar o domínio dessa função composta, precisamos garantir que a entrada de
seja válida, ou seja,
. Além disso, a expressão dentro da raiz cúbica,
, é válida para todo
real, já que a raiz cúbica aceita qualquer número.
Portanto, o único requisito para o domínio de
é
.
Passo 4
Vamos agora compor
, que é pegar a função
e usar o resultado como entrada para outra função
.
Então:
Para o domínio dessa composição, a função interna
exige
. A função externa
também exige que o argumento seja maior ou igual a zero, mas como a raiz quadrada já garante que
quando
, não temos restrições adicionais.
Então, o domínio de
é
.
Passo 5
Por último, vamos compor
, que é pegar a função
e usar o resultado como entrada para outra função
.
Então:
Para determinar o domínio dessa função composta, precisamos considerar que a raiz cúbica está definida para todos os números reais. Não há restrições adicionais, já que a expressão dentro da raiz cúbica
é sempre um número real, independentemente do valor de
.
Portanto, o domínio de
é todo
.
Resposta
As funções compostas e seus domínios são:
a)
, domínio:
.
b)
, domínio:
.
c)
, domínio:
.
d)
, domínio:
.
Exercícios relacionados
Determine o domínio e a imagem da seguinte função definida em partes.
Utilizando a definição da derivada, encontre
se
.
É dado o gráfico de
. Esboce os gráficos das seguintes funções:
(a)
(b)
©
(d)
(a)
(b)
©
(d)