Encontre as funções (a) , (b) , © e (d) e seus domínios.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que trata de composição de funções. A gente vai encontrar as funções compostas , , e , além de determinar os domínios de cada uma delas. Para isso, precisamos entender como compor funções e verificar as restrições de cada função individualmente.

Passo 2

Vamos começar com a composição , que significa pegar a função e usar o resultado como entrada para a função .
A função e .
Então:
Agora, precisamos determinar o domínio dessa função composta. A função exige que . Portanto, o interior da raiz quadrada, que é , deve ser maior ou igual a zero:
Além disso, a função está definida para todo real, já que a raiz cúbica aceita qualquer número real.
Então, o domínio de é .

Passo 3

Agora, vamos para a composição , que significa pegar a função e usar o resultado como entrada para a função .
Então:
Para encontrar o domínio dessa função composta, precisamos garantir que a entrada de seja válida, ou seja, . Além disso, a expressão dentro da raiz cúbica, , é válida para todo real, já que a raiz cúbica aceita qualquer número.
Portanto, o único requisito para o domínio de é .

Passo 4

Vamos agora compor , que é pegar a função e usar o resultado como entrada para outra função .
Então:
Para o domínio dessa composição, a função interna exige . A função externa também exige que o argumento seja maior ou igual a zero, mas como a raiz quadrada já garante que quando , não temos restrições adicionais.
Então, o domínio de é .

Passo 5

Por último, vamos compor , que é pegar a função e usar o resultado como entrada para outra função .
Então:
Para determinar o domínio dessa função composta, precisamos considerar que a raiz cúbica está definida para todos os números reais. Não há restrições adicionais, já que a expressão dentro da raiz cúbica é sempre um número real, independentemente do valor de .
Portanto, o domínio de é todo .

Resposta

As funções compostas e seus domínios são:
a) , domínio: .
b) , domínio: .
c) , domínio: .
d) , domínio: .

Exercícios relacionados

Determine o domínio e a imagem da seguinte função definida em partes.
Utilizando a definição da derivada, encontre se .
É dado o gráfico de . Esboce os gráficos das seguintes funções:
(a)
(b)
©
(d)