Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar o domínio e a imagem da função
. Isso faz parte da matéria de Funções no seu estudo de matemática. Para resolver, precisamos descobrir para quais valores de
a função está definida (domínio) e quais são os possíveis valores que a função pode assumir (imagem).
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Olhando para a função
, temos duas partes que impõem restrições:
-
: Aqui, o denominador não pode ser zero e o que está dentro da raiz precisa ser positivo. -
: O denominador não pode ser zero.
Passo 3
Vamos resolver as restrições uma por uma:
-
Para
: -
(porque a raiz quadrada só está definida para números positivos). -
. Mas já sabemos que , então essa condição já está incluída.
-
-
Para
: -
.
-
Passo 4
Juntando as duas condições, temos que
deve ser maior que 1, mas diferente de 5. Portanto, o domínio da função é:
Ou, de forma intervalar:
Passo 5
Agora, vamos determinar a imagem da função, que é o conjunto de todos os valores que
pode assumir. Para isso, precisamos analisar como a função se comporta nos intervalos do domínio.
Vamos observar que:
- À medida que
se aproxima de 1 pelo lado direito, se aproxima de 0, então tende ao infinito positivo. - À medida que
se aproxima de 5, tende ao infinito (positivo ou negativo, dependendo de qual lado 5 está sendo abordado). - Para
tendendo a mais infinito, tanto quanto tendem a 0, fazendo tender a 0.
Com base nisso, podemos concluir que
pode assumir todos os valores reais positivos, desde valores muito grandes quando
está próximo de 1 ou 5, até valores próximos de 0 quando
é muito grande.
Resposta
Domínio:
Imagem:
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Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:
Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:
Simplifique a seguinte expressão:
, se:
Repita o exercício anterior para um
qualquer e compare os resultados obtidos.