Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar o domínio e a imagem da função . Isso faz parte da matéria de Funções no seu estudo de matemática. Para resolver, precisamos descobrir para quais valores de a função está definida (domínio) e quais são os possíveis valores que a função pode assumir (imagem).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Olhando para a função , temos duas partes que impõem restrições:
  1. : Aqui, o denominador não pode ser zero e o que está dentro da raiz precisa ser positivo.
  2. : O denominador não pode ser zero.

Passo 3

Vamos resolver as restrições uma por uma:
  1. Para :
    • (porque a raiz quadrada só está definida para números positivos).
    • . Mas já sabemos que , então essa condição já está incluída.
  2. Para :
    • .

Passo 4

Juntando as duas condições, temos que deve ser maior que 1, mas diferente de 5. Portanto, o domínio da função é:
Ou, de forma intervalar:

Passo 5

Agora, vamos determinar a imagem da função, que é o conjunto de todos os valores que pode assumir. Para isso, precisamos analisar como a função se comporta nos intervalos do domínio.
Vamos observar que:
  • À medida que se aproxima de 1 pelo lado direito, se aproxima de 0, então tende ao infinito positivo.
  • À medida que se aproxima de 5, tende ao infinito (positivo ou negativo, dependendo de qual lado 5 está sendo abordado).
  • Para tendendo a mais infinito, tanto quanto tendem a 0, fazendo tender a 0.
Com base nisso, podemos concluir que pode assumir todos os valores reais positivos, desde valores muito grandes quando está próximo de 1 ou 5, até valores próximos de 0 quando é muito grande.

Resposta

Domínio:
Imagem:

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Simplifique a seguinte expressão: , se:
Repita o exercício anterior para um qualquer e compare os resultados obtidos.