Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o domínio e a imagem da função . Então, vamos precisar entender o que é o domínio e a imagem de uma função, além de saber trabalhar com frações algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. No caso de uma fração, a função só está indefinida quando o denominador é zero, porque não podemos dividir por zero.

Passo 3

Vamos analisar o denominador da função . O denominador é . Precisamos encontrar os valores de que fazem esse denominador igual a zero:
Aqui, não existe nenhum número real que elevado ao quadrado dê -1. Portanto, o denominador nunca é zero para nenhum número real.

Passo 4

Como o denominador nunca é zero, isso significa que a função está definida para todos os números reais. Então, o domínio de é:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os valores que pode assumir quando varia em todo o domínio.
Para encontrar a imagem, podemos analisar o comportamento da função e seus limites. Observando , notamos que para valores grandes de , tanto positivos quanto negativos, o denominador cresce mais rápido que o numerador, o que faz com que se aproxime de zero.
Além disso, podemos encontrar os valores máximos e mínimos da função calculando sua derivada e encontrando os pontos críticos, mas de forma simplificada, percebemos que a função atinge valores positivos e negativos próximos a zero.

Passo 6

Para ter certeza dos limites, vamos calcular o limite da função quando tende a mais e menos infinito:
Isso confirma que a função se aproxima de zero, mas nunca o atinge.

Passo 7

Agora, vamos identificar os valores máximos e mínimos. Calculando a derivada de :
Igualando a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Calculando e :

Passo 8

Então, a função atinge um valor máximo de 1 e um valor mínimo de -1. Portanto, a imagem de é o intervalo entre -1 e 1:

Resposta

O domínio da função é todo número real , e a imagem é o intervalo fechado entre -1 e 1, ou seja, .

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