Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o domínio e a imagem da função
. Então, vamos precisar entender o que é o domínio e a imagem de uma função, além de saber trabalhar com frações algébricas.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. No caso de uma fração, a função só está indefinida quando o denominador é zero, porque não podemos dividir por zero.
Passo 3
Vamos analisar o denominador da função
. O denominador é
. Precisamos encontrar os valores de
que fazem esse denominador igual a zero:
Aqui, não existe nenhum número real que elevado ao quadrado dê -1. Portanto, o denominador nunca é zero para nenhum número real.
Passo 4
Como o denominador nunca é zero, isso significa que a função está definida para todos os números reais. Então, o domínio de
é:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os valores que
pode assumir quando
varia em todo o domínio.
Para encontrar a imagem, podemos analisar o comportamento da função e seus limites. Observando
, notamos que para valores grandes de
, tanto positivos quanto negativos, o denominador cresce mais rápido que o numerador, o que faz com que
se aproxime de zero.
Além disso, podemos encontrar os valores máximos e mínimos da função calculando sua derivada e encontrando os pontos críticos, mas de forma simplificada, percebemos que a função atinge valores positivos e negativos próximos a zero.
Passo 6
Para ter certeza dos limites, vamos calcular o limite da função quando
tende a mais e menos infinito:
Isso confirma que a função se aproxima de zero, mas nunca o atinge.
Passo 7
Agora, vamos identificar os valores máximos e mínimos. Calculando a derivada de
:
Igualando a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Calculando
e
:
Passo 8
Então, a função atinge um valor máximo de 1 e um valor mínimo de -1. Portanto, a imagem de
é o intervalo entre -1 e 1:
Resposta
O domínio da função
é todo número real
, e a imagem é o intervalo fechado entre -1 e 1, ou seja,
.
Exercícios relacionados
Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:
Exprima como função de
: o volume e a área de um cilindro circular reto de raio
sendo sua altura igual a
do raio da base.
Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:
Determine o domínio e a imagem das seguintes funções: