Simplifique a seguinte expressão: (f(x) - f(a)) / (x - a), x != a, se: f(x) = 1/x^2, a = 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para simplificar a expressão (f(x) - f(a)) / (x - a), onde e . Isso está relacionado ao cálculo da taxa de variação média de uma função, que a gente usa para entender como a função muda entre dois pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir f(x) e f(a) na expressão. Sabemos que e , então . Então, a expressão fica:

Passo 3

Agora, precisamos simplificar o numerador . Para isso, vamos encontrar um denominador comum, que é . Reescrevendo as frações:
Então, a expressão original fica:

Passo 4

Dividir frações é o mesmo que multiplicar pelo inverso. Então, a expressão acima vira:

Passo 5

Vamos fatorar o numerador . Isso é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada como . Substituindo:

Passo 6

Observamos que é igual a . Substituindo na expressão:

Passo 7

Agora, podemos cancelar no numerador e no denominador:

Resposta

A expressão simplificada é .

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