Determine o domínio e a imagem das seguintes funções: f(x) = raiz(cubica(x^3 - x) )

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar o domínio e a imagem da função . Isso faz parte do conteúdo de funções na matemática. Para resolver, vamos precisar entender o que significa domínio e imagem de uma função, além de saber como analisar funções que envolvem raízes e polinômios.

Passo 2

Vamos começar determinando o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. No nosso caso, temos uma raiz cúbica: .
Uma coisa legal sobre a raiz cúbica é que ela está definida para todos os números reais. Diferente da raiz quadrada, que só funciona para números não negativos, a raiz cúbica pode receber qualquer número, positivo, negativo ou zero.
Então, como o polinômio também está definido para todo real, não há restrições para o domínio.

Passo 3

Agora, vamos descobrir a imagem da função, que é o conjunto de todos os valores que pode assumir. Ou seja, queremos saber quais são os possíveis resultados da expressão .
Primeiro, observe que é um polinômio do terceiro grau. Polinômios do terceiro grau têm a característica de tendência para e conforme fica muito grande ou muito pequeno, respectivamente. Isso significa que pode assumir todos os valores reais.
Como a raiz cúbica também pode gerar qualquer número real a partir de outro número real, combinando as duas partes, a imagem da função também será todos os números reais.

Resposta

Domínio: (todos os números reais)
Imagem: (todos os números reais)

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