Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar o domínio e a imagem da função
. Isso faz parte do conteúdo de funções na matemática. Para resolver, vamos precisar entender o que significa domínio e imagem de uma função, além de saber como analisar funções que envolvem raízes e polinômios.
Passo 2
Vamos começar determinando o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. No nosso caso, temos uma raiz cúbica:
.
Uma coisa legal sobre a raiz cúbica é que ela está definida para todos os números reais. Diferente da raiz quadrada, que só funciona para números não negativos, a raiz cúbica pode receber qualquer número, positivo, negativo ou zero.
Então, como o polinômio
também está definido para todo
real, não há restrições para o domínio.
Passo 3
Agora, vamos descobrir a imagem da função, que é o conjunto de todos os valores que
pode assumir. Ou seja, queremos saber quais são os possíveis resultados da expressão
.
Primeiro, observe que
é um polinômio do terceiro grau. Polinômios do terceiro grau têm a característica de tendência para
e
conforme
fica muito grande ou muito pequeno, respectivamente. Isso significa que
pode assumir todos os valores reais.
Como a raiz cúbica também pode gerar qualquer número real a partir de outro número real, combinando as duas partes, a imagem da função também será todos os números reais.
Resposta
Domínio:
(todos os números reais)
Imagem:
(todos os números reais)