Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Precisamos determinar o domínio e a imagem da função .
  • Domínio: conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.
  • Imagem: conjunto de todos os possíveis valores de resultantes do domínio.
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre radiciação e definição de frações envolvendo raízes quadradas.

Passo 2

Vamos começar encontrando o domínio da função. Para que esteja definida:
  1. O denominador não pode ser zero, pois divisão por zero é indefinida.
  2. A expressão dentro da raiz quadrada deve ser positiva, já que a raiz de um número negativo não é real.
Então, temos duas condições:

Passo 3

Vamos resolver a inequação .
Primeiro, encontramos os valores que anulam a expressão:
Esses pontos dividem a reta numérica em três intervalos:

Passo 4

Agora, vamos testar cada intervalo para ver onde a expressão é positiva:
  1. Para :
    • é negativo.
    • é negativo.
    • Produto: positivo.
  2. Para :
    • é negativo.
    • é positivo.
    • Produto: negativo.
  3. Para :
    • é positivo.
    • é positivo.
    • Produto: positivo.

Passo 5

Portanto, a expressão é válida nos intervalos e .
Também devemos excluir e porque nesses pontos o denominador seria zero.
Domínio:

Passo 6

Agora, vamos determinar a imagem da função .
Sabemos que a raiz quadrada sempre retorna valores positivos ou zero, mas como a expressão dentro da raiz é sempre positiva no domínio, temos:
Então, é sempre o inverso de um número positivo, ou seja, também sempre positivo.
Além disso, como pode crescer sem limites quando se afasta de -2 e 1, pode se aproximar de zero.
Por outro lado, quando se aproxima de zero (próximo aos limites de e ), tende ao infinito.
Imagem:

Resposta

  • Domínio:
  • Imagem:

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Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:
Exprima como função de : o volume de uma esfera de raio .
Simplifique a seguinte expressão: , se:
Fazendo uma tabela, esboce os gráficos das seguintes funções: