Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Precisamos determinar o domínio e a imagem da função
.
- Domínio: conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. - Imagem: conjunto de todos os possíveis valores de
resultantes do domínio.
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre radiciação e definição de frações envolvendo raízes quadradas.
Passo 2
Vamos começar encontrando o domínio da função. Para que
esteja definida:
- O denominador não pode ser zero, pois divisão por zero é indefinida.
- A expressão dentro da raiz quadrada deve ser positiva, já que a raiz de um número negativo não é real.
Então, temos duas condições:
Passo 3
Vamos resolver a inequação
.
Primeiro, encontramos os valores que anulam a expressão:
Esses pontos dividem a reta numérica em três intervalos:
Passo 4
Agora, vamos testar cada intervalo para ver onde a expressão
é positiva:
-
Para
: -
é negativo. -
é negativo. - Produto: positivo.
-
-
Para
: -
é negativo. -
é positivo. - Produto: negativo.
-
-
Para
: -
é positivo. -
é positivo. - Produto: positivo.
-
Passo 5
Portanto, a expressão
é válida nos intervalos
e
.
Também devemos excluir
e
porque nesses pontos o denominador seria zero.
Domínio:
Passo 6
Agora, vamos determinar a imagem da função
.
Sabemos que a raiz quadrada sempre retorna valores positivos ou zero, mas como a expressão dentro da raiz é sempre positiva no domínio, temos:
Então,
é sempre o inverso de um número positivo, ou seja, também sempre positivo.
Além disso, como
pode crescer sem limites quando
se afasta de -2 e 1,
pode se aproximar de zero.
Por outro lado, quando
se aproxima de zero (próximo aos limites de
e
),
tende ao infinito.
Imagem:
Resposta
- Domínio:
- Imagem:
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Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:
Exprima como função de
: o volume de uma esfera de raio
.
Simplifique a seguinte expressão:
, se:
Fazendo uma tabela, esboce os gráficos das seguintes funções: