Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar o domínio e a imagem da função
. A gente vai precisar usar conceitos de funções radicais e restrições de domínio pra garantir que tudo fique definido. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
que fazem com que a função seja real e definida. Como temos raízes quadradas, precisamos garantir que o que está dentro delas seja não negativo.
Passo 3
Olha só, na nossa função
, temos duas raízes quadradas: uma externa
e uma interna
. Vamos analisar as condições para que ambas sejam válidas.
Passo 4
Primeiro, a raiz interna
está definida quando
.
Depois, a raiz externa
está definida quando:
Vamos resolver essa desigualdade:
Isso acontece quando:
-
e → → -
e → →
Então, os valores de
que satisfazem são
ou
.
Passo 5
Agora, juntando tudo, sabemos que para
:
E para
, a função está bem definida e gera valores reais.
Então, o domínio é:
Passo 6
Para encontrar a imagem, ou seja, os valores que
pode assumir, vamos analisar:
- Quando
, - Para
,
Observando a função para
, vemos que conforme
aumenta,
também aumenta. Vamos calcular o limite quando
tende ao infinito:
Então, a imagem é todos os
que começam em 0 e vão até o infinito.
Resposta
O domínio da função
é
e a imagem é
.
Exercícios relacionados
Se $f(x)=\sqrt{x-4}
Determine
e
, se:
Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:
Determine o domínio de
e calcule
e
.