Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar o domínio e a imagem da função . A gente vai precisar usar conceitos de funções radicais e restrições de domínio pra garantir que tudo fique definido. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de que fazem com que a função seja real e definida. Como temos raízes quadradas, precisamos garantir que o que está dentro delas seja não negativo.

Passo 3

Olha só, na nossa função , temos duas raízes quadradas: uma externa e uma interna . Vamos analisar as condições para que ambas sejam válidas.

Passo 4

Primeiro, a raiz interna está definida quando .
Depois, a raiz externa está definida quando:
Vamos resolver essa desigualdade:
Isso acontece quando:
  1. e
  2. e
Então, os valores de que satisfazem são ou .

Passo 5

Agora, juntando tudo, sabemos que para :
E para , a função está bem definida e gera valores reais.
Então, o domínio é:

Passo 6

Para encontrar a imagem, ou seja, os valores que pode assumir, vamos analisar:
  • Quando ,
  • Para ,
Observando a função para , vemos que conforme aumenta, também aumenta. Vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Então, a imagem é todos os que começam em 0 e vão até o infinito.

Resposta

O domínio da função é e a imagem é .

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Se $f(x)=\sqrt{x-4}
Determine e , se:
Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:
Determine o domínio de e calcule e .