Determine o domínio de e calcule e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o domínio da função , além de calcular e o inverso da função , que é . Para isso, vamos utilizar conceitos de funções racionais e propriedades de inversas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio de . O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Como temos uma fração, o denominador não pode ser zero (porque divisão por zero é indefinida).
Então, vamos resolver a equação para encontrar os valores de que fazem o denominador ser zero:
Isso significa que . Portanto, o domínio de é todos os números reais exceto .

Passo 3

Agora, vamos calcular . Isso significa substituir por na expressão original da função.
Vamos simplificar o numerador e o denominador separadamente:
Numerador:
Denominador:
Agora, dividimos o numerador pelo denominador:

Passo 4

Por fim, vamos encontrar o inverso da função , ou seja, . Para encontrar a função inversa, seguimos os seguintes passos:
  1. Troque por :
  1. Troque e :
  1. Agora, resolva para :
Multiplicando ambos os lados por :
Distribuindo :
Levantando todos os termos com de um lado:
Fatorando :
Isolando :
Portanto, o inverso da função é:

Resposta

O domínio de é todos os números reais exceto . Além disso,
e o inverso da função é

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Simplifique a seguinte expressão: , se:
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