Determine o domínio de
e calcule
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o domínio da função
, além de calcular
e o inverso da função
, que é
. Para isso, vamos utilizar conceitos de funções racionais e propriedades de inversas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio de
. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Como temos uma fração, o denominador não pode ser zero (porque divisão por zero é indefinida).
Então, vamos resolver a equação para encontrar os valores de
que fazem o denominador ser zero:
Isso significa que
. Portanto, o domínio de
é todos os números reais exceto
.
Passo 3
Agora, vamos calcular
. Isso significa substituir
por
na expressão original da função.
Vamos simplificar o numerador e o denominador separadamente:
Numerador:
Denominador:
Agora, dividimos o numerador pelo denominador:
Passo 4
Por fim, vamos encontrar o inverso da função
, ou seja,
. Para encontrar a função inversa, seguimos os seguintes passos:
- Troque
por :
- Troque
e :
- Agora, resolva para
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Distribuindo
:
Levantando todos os termos com
de um lado:
Fatorando
:
Isolando
:
Portanto, o inverso da função
é:
Resposta
O domínio de
é todos os números reais exceto
. Além disso,
e o inverso da função é
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Simplifique a seguinte expressão:
, se:
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