Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:

Passo 1

Beleza! O exercício quer que a gente encontre o domínio e a imagem da função . Para isso, vamos usar conhecimentos sobre funções radicais e restrições de funções. Precisamos verificar onde a função está definida e quais valores ela pode assumir.

Passo 2

Vamos começar pelo domínio. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Aqui, temos duas raízes quadradas:
  1. No numerador:
  2. No denominador:
Para que as raízes quadradas sejam válidas:
  • O que está dentro da raiz precisa ser não negativo.
  • O denominador não pode ser zero (porque divisão por zero não existe).
Então, temos as seguintes condições:
  1. Para :
  2. Para :
  3. Denominador não pode ser zero:

Passo 3

Agora, vamos combinar essas condições para encontrar o domínio:
  • A condi��ão mais restritiva é .
  • Mas, precisamos excluir porque o denominador não pode ser zero.
Portanto, o domínio é:

Passo 4

Vamos agora para a imagem da função, que são todos os possíveis valores que pode assumir.
Sabemos que:
  • Para , tanto quanto são números positivos.
  • Portanto, será sempre positiva.
Vamos analisar o comportamento de :
  1. Quando está perto de 9:
    • fica muito pequeno, fazendo crescer sem limite (tende ao infinito).
  2. Quando cresce:
    • Tanto quanto aumentam, mas a razão entre eles tende a:
    • Isso significa que se aproxima de 1.
Portanto, pode assumir qualquer valor maior que 1.

Resposta

O domínio da função é e a imagem é .

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Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:
Se $f(x)=\sqrt{x-4}
Determine o domínio de e calcule e .
Simplifique a seguinte expressão: , se: