Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:
Passo 1
Beleza! O exercício quer que a gente encontre o domínio e a imagem da função
. Para isso, vamos usar conhecimentos sobre funções radicais e restrições de funções. Precisamos verificar onde a função está definida e quais valores ela pode assumir.
Passo 2
Vamos começar pelo domínio. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Aqui, temos duas raízes quadradas:
- No numerador:
- No denominador:
Para que as raízes quadradas sejam válidas:
- O que está dentro da raiz precisa ser não negativo.
- O denominador não pode ser zero (porque divisão por zero não existe).
Então, temos as seguintes condições:
-
Para
: -
Para
: -
Denominador não pode ser zero:
Passo 3
Agora, vamos combinar essas condições para encontrar o domínio:
- A condi��ão mais restritiva é
. - Mas, precisamos excluir
porque o denominador não pode ser zero.
Portanto, o domínio é:
Passo 4
Vamos agora para a imagem da função, que são todos os possíveis valores que
pode assumir.
Sabemos que:
- Para
, tanto quanto são números positivos. - Portanto,
será sempre positiva.
Vamos analisar o comportamento de
:
-
Quando
está perto de 9: -
fica muito pequeno, fazendo crescer sem limite (tende ao infinito).
-
-
Quando
cresce: - Tanto
quanto aumentam, mas a razão entre eles tende a: - Isso significa que
se aproxima de 1.
- Tanto
Portanto,
pode assumir qualquer valor maior que 1.
Resposta
O domínio da função é
e a imagem é
.
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Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:
Se $f(x)=\sqrt{x-4}
Determine o domínio de
e calcule
e
.
Simplifique a seguinte expressão:
, se: