Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar o domínio e a imagem da função . Isso está dentro do estudo de funções de duas variáveis na matéria de análise matemática. Para resolver, vamos precisar entender o que é domínio (os valores de e que deixam a função bem definida) e a imagem (os valores que a função pode assumir).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os pares para os quais a função está bem definida.
A função tem duas partes que impõem restrições:
  1. O denominador precisa ser diferente de zero, porque não podemos dividir por zero.
  2. O radicando dentro da raiz quadrada precisa ser positivo, já que a raiz quadrada de um número negativo não é um número real.
Matematicamente, isso fica assim:
Essas duas condições juntas nos dizem que deve ser estritamente positivo.

Passo 3

Agora, vamos transformar a condição . Podemos reescrever isso da seguinte maneira:
Isso significa que o valor absoluto de deve ser maior que o valor absoluto de :
Geometricamente, isso representa todas as coordenadas onde o ponto está fora das linhas e . Ou seja, é a região entre os dois ramos da hipérbole .

Passo 4

Agora que temos o domínio definido, vamos para a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os valores que pode assumir quando varia dentro do domínio.
Como , e é sempre positivo no domínio, então também será sempre positivo. Além disso, conforme aumenta, aumenta, fazendo diminuir. O menor valor de é próximo de 0 (mas não chega a ser 0), o que faz tender ao infinito. Já à medida que cresce sem limite, tende a zero.
Portanto, a imagem da função é todo número real positivo.

Resposta

Domínio: Todos os pares tais que .
Imagem: Todos os números reais positivos, ou seja, .

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