Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar o domínio e a imagem da função
. Isso está dentro do estudo de funções de duas variáveis na matéria de análise matemática. Para resolver, vamos precisar entender o que é domínio (os valores de
e
que deixam a função bem definida) e a imagem (os valores que a função pode assumir).
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os pares
para os quais a função
está bem definida.
A função
tem duas partes que impõem restrições:
- O denominador
precisa ser diferente de zero, porque não podemos dividir por zero. - O radicando
dentro da raiz quadrada precisa ser positivo, já que a raiz quadrada de um número negativo não é um número real.
Matematicamente, isso fica assim:
Essas duas condições juntas nos dizem que
deve ser estritamente positivo.
Passo 3
Agora, vamos transformar a condição
. Podemos reescrever isso da seguinte maneira:
Isso significa que o valor absoluto de
deve ser maior que o valor absoluto de
:
Geometricamente, isso representa todas as coordenadas
onde o ponto está fora das linhas
e
. Ou seja, é a região entre os dois ramos da hipérbole
.
Passo 4
Agora que temos o domínio definido, vamos para a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os valores que
pode assumir quando
varia dentro do domínio.
Como
, e
é sempre positivo no domínio, então
também será sempre positivo. Além disso, conforme
aumenta,
aumenta, fazendo
diminuir. O menor valor de
é próximo de 0 (mas não chega a ser 0), o que faz
tender ao infinito. Já à medida que
cresce sem limite,
tende a zero.
Portanto, a imagem da função é todo número real positivo.
Resposta
Domínio: Todos os pares
tais que
.
Imagem: Todos os números reais positivos, ou seja,
.
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.
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