Escreva as seguintes funções como uma série de potências e forneça os intervalos de convergência.
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Passo 1

Beleza, então a gente tem a função e o objetivo é escrever essa função como uma série de potências. Isso envolve usar conhecimentos de séries geométricas e entender como determinar o intervalo onde essa série converge, ou seja, onde ela dá certo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a série geométrica. A série geométrica é dada por:
Essa fórmula só funciona quando o valor absoluto de é menor que 1, ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos comparar a nossa função com a fórmula da série geométrica. Observando , podemos reescrever a função da seguinte maneira:
Aqui, vemos que , então podemos aplicar a série geométrica.

Passo 4

Aplicando a série geométrica na nossa função, temos:
Simplificando a expressão dentro da série:
Multiplicando o pela série:

Passo 5

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência. Sabemos que a série geométrica converge quando . No nosso caso, , então:
Portanto, o intervalo de convergência é:

Resposta

A série de potências da função é:
E o intervalo de convergência é:

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Determine as derivadas, com a regra da cadeia: Resp:
Determine o intervalo e o raio de convergência das seguintes séries de potências .
(b)
Encontre primeiros 4 termos da série de Taylor para as seguintes funções:
(b) centrada em .
Determine o domínio e a imagem das seguintes funções: