Escreva as seguintes funções como uma série de potências e forneça os intervalos de convergência.
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Passo 1
Beleza, então a gente tem a função
e o objetivo é escrever essa função como uma série de potências. Isso envolve usar conhecimentos de séries geométricas e entender como determinar o intervalo onde essa série converge, ou seja, onde ela dá certo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a série geométrica. A série geométrica é dada por:
Essa fórmula só funciona quando o valor absoluto de
é menor que 1, ou seja,
.
Passo 3
Agora, vamos comparar a nossa função com a fórmula da série geométrica. Observando
, podemos reescrever a função da seguinte maneira:
Aqui, vemos que
, então podemos aplicar a série geométrica.
Passo 4
Aplicando a série geométrica na nossa função, temos:
Simplificando a expressão dentro da série:
Multiplicando o
pela série:
Passo 5
Agora, vamos determinar o intervalo de convergência. Sabemos que a série geométrica converge quando
. No nosso caso,
, então:
Portanto, o intervalo de convergência é:
Resposta
A série de potências da função
é:
E o intervalo de convergência é:
Exercícios relacionados
Determine as derivadas, com a regra da cadeia:
Resp:
Determine o intervalo e o raio de convergência das seguintes séries de potências .
(b)
(b)
Encontre primeiros 4 termos da série de Taylor para as seguintes funções:
(b) centrada em
.
(b)
Determine o domínio e a imagem das seguintes funções: