Determine o domínio das seguintes funções:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar o domínio da função
. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Para encontrar o domínio dessa função, precisamos considerar duas coisas importantes:
- Radiciação: A expressão dentro da raiz quadrada, ou seja,
, deve ser maior ou igual a zero, porque a raiz quadrada de um número negativo não é real. - Divisão por zero: O denominador da fração,
, não pode ser igual a zero, pois a divisão por zero não está definida.
Vamos seguir esses dois passos para encontrar o domínio da função.
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que o denominador
não seja zero. Para isso, resolvemos a equação:
Isso significa que
não está no domínio da função.
Passo 3
Agora, vamos garantir que a expressão dentro da raiz quadrada seja maior ou igual a zero:
Para resolver essa desigualdade, precisamos analisar onde o numerador e o denominador são positivos ou negativos. Vamos começar fatorando o numerador.
Passo 4
Fatorando o numerador
:
Primeiro, vamos multiplicar por -1 para facilitar a fatoração:
Agora, vamos fatorar
:
Portanto:
Passo 5
Substituindo de volta na desigualdade:
Podemos simplificar a expressão removendo o sinal negativo:
Multiplicando ambos os lados por -1 (lembrando que isso inverte o sinal da desigualdade):
Passo 6
Agora, vamos identificar os pontos críticos onde o numerador ou denominador são zero:
-
→ -
→ -
→
Esses pontos dividem a reta numérica em intervalos que vamos analisar para determinar onde a expressão é menor ou igual a zero.
Passo 7
Vamos analisar os sinais nos intervalos determinados pelos pontos críticos
,
e
:
-
Intervalo
: -
é negativo -
é negativo -
é negativo - Portanto,
→ Menor que zero
-
-
Intervalo
: -
é negativo -
é positivo -
é negativo - Portanto,
→ Maior que zero
-
-
Intervalo
: -
é negativo -
é positivo -
é positivo - Portanto,
→ Menor que zero
-
-
Intervalo
: -
é positivo -
é positivo -
é positivo - Portanto,
→ Maior que zero
-
Passo 8
Queremos os intervalos onde
. Observando os sinais:
- Intervalos onde a expressão é menor ou igual a zero:
e
Lembrando que
não está no domínio, já que causa divisão por zero.
Resposta
O domínio da função
é:
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Encontre a inversa das seguintes funções:
Determine se o que está estabelecido é Falso (F) ou Verdadeiro (V). Se verdadeiro, explique por quê. Se falso, explique por quê ou dê um contra-exemplo do que está estabelecido.
(a) ( ) A função tem uma descontinuidade removível em
e
pode ser redefinida como uma nova função contínua em 1 por:
(a) ( ) A função
(b) ( )
.
© ( ) A equação não admite nenhuma solução real.
(d) ( ) O limite .
(e) ( ) As retas e
são assíntotas vertical e horizontal da curva
.
© ( ) A equação
(d) ( ) O limite
(e) ( ) As retas