Determine o domínio das seguintes funções: f(x) = raiz((-x^2 + 9*x - 14) / (x - 3))

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar o domínio da função . O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Para encontrar o domínio dessa função, precisamos considerar duas coisas importantes:
  1. Radiciação: A expressão dentro da raiz quadrada, ou seja, , deve ser maior ou igual a zero, porque a raiz quadrada de um número negativo não é real.
  2. Divisão por zero: O denominador da fração, , não pode ser igual a zero, pois a divisão por zero não está definida.
Vamos seguir esses dois passos para encontrar o domínio da função.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que o denominador não seja zero. Para isso, resolvemos a equação:
Isso significa que não está no domínio da função.

Passo 3

Agora, vamos garantir que a expressão dentro da raiz quadrada seja maior ou igual a zero:
Para resolver essa desigualdade, precisamos analisar onde o numerador e o denominador são positivos ou negativos. Vamos começar fatorando o numerador.

Passo 4

Fatorando o numerador :
Primeiro, vamos multiplicar por -1 para facilitar a fatoração:
Agora, vamos fatorar :
Portanto:

Passo 5

Substituindo de volta na desigualdade:
Podemos simplificar a expressão removendo o sinal negativo:
Multiplicando ambos os lados por -1 (lembrando que isso inverte o sinal da desigualdade):

Passo 6

Agora, vamos identificar os pontos críticos onde o numerador ou denominador são zero:
Esses pontos dividem a reta numérica em intervalos que vamos analisar para determinar onde a expressão é menor ou igual a zero.

Passo 7

Vamos analisar os sinais nos intervalos determinados pelos pontos críticos , e :
  1. Intervalo :
    • é negativo
    • é negativo
    • é negativo
    • Portanto, → Menor que zero
  2. Intervalo :
    • é negativo
    • é positivo
    • é negativo
    • Portanto, → Maior que zero
  3. Intervalo :
    • é negativo
    • é positivo
    • é positivo
    • Portanto, → Menor que zero
  4. Intervalo :
    • é positivo
    • é positivo
    • é positivo
    • Portanto, → Maior que zero

Passo 8

Queremos os intervalos onde . Observando os sinais:
  • Intervalos onde a expressão é menor ou igual a zero: e
Lembrando que não está no domínio, já que causa divisão por zero.

Resposta

O domínio da função é:

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