Determine o domínio das seguintes funções reais:
a) f(x) = 3x + 2
b) f(x) = 1x+2
c) f(x) = 1x(x−2)
d) f(x) = 1√x+1
e) f(x) =√x+2x−2
f) f(x) =√x + √x − 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que determinar o domínio de várias funções reais. O domínio de uma função é basicamente o conjunto de todos os valores de $ x $ que fazem a função funcionar direitinho, sem dar algum problema como divisão por zero ou raiz quadrada de número negativo. Para resolver isso, vamos analisar cada função separadamente e ver quais valores de $ x $ são permitidos.

Passo 2

a) $ f(x) = 3x + 2 $
Essa é uma função do primeiro grau, que é uma reta. Não tem nenhum problema aqui, porque pra qualquer valor de $ x $, a função vai dar um número real. Não tem divisão por zero, nem raiz quadrada.
Dominio: Todos os números reais, ou seja, $ x \in \mathbb{R} $.

Passo 3

b) $ f(x) = \frac{1}{x} + 2 $
Aqui, temos uma fração com $ x $ no denominador. A gente sabe que não pode dividir por zero, então $ x $ não pode ser igual a zero.
Condição: $ x \neq 0 $.
Dominio: Todos os números reais menos zero, ou seja, $ x \in \mathbb{R} \setminus {0} $.

Passo 4

c) $ f(x) = \frac{1}{x(x - 2)} $
Novamente, temos uma fração e o denominador é $ x(x - 2) $. A gente precisa garantir que o denominador não seja zero.
Condições:
  1. $ x \neq 0 $
  2. $ x - 2 \neq 0 $ → $ x \neq 2 $
Dominio: Todos os números reais menos 0 e 2, ou seja, $ x \in \mathbb{R} \setminus {0, 2} $.

Passo 5

d) $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{x + 1}} $
Aqui, temos uma raiz quadrada no denominador. A raiz quadrada só é definida para números maiores ou iguais a zero, e o denominador não pode ser zero.
Condições:
  1. $ x + 1 > 0 $ → $ x > -1 $
Dominio: Todos os números maiores que -1, ou seja, $ x > -1 $.

Passo 6

e) $ f(x) = \sqrt{x} + 2x - 2 $
Temos uma raiz quadrada de $ x $. Para a raiz quadrada ser válida, o que está dentro dela tem que ser maior ou igual a zero.
Condição: $ x \geq 0 $.
Dominio: Todos os números reais maiores ou iguais a zero, ou seja, $ x \geq 0 $.

Passo 7

f) $ f(x) = \sqrt{x} + \sqrt{x - 1} $
Aqui, temos duas raízes quadradas. Ambas precisam ser válidas, então o que está dentro de cada uma tem que ser maior ou igual a zero.
Condições:
  1. $ x \geq 0 $
  2. $ x - 1 \geq 0 $ → $ x \geq 1 $
A condição mais restritiva é $ x \geq 1 $.
Dominio: Todos os números reais maiores ou iguais a 1, ou seja, $ x \geq 1 $.

Resposta

Resumindo, os domínios das funções são:
a) $ x \in \mathbb{R} $
b) $ x \in \mathbb{R} \setminus {0} $
c) $ x \in \mathbb{R} \setminus {0, 2} $
d) $ x > -1 $
e) $ x \geq 0 $
f) $ x \geq 1 $

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