Uma hipérbole
tem vértices nos pontos
e
, e um foco no ponto
. Obtenha a equação da hipérbole e de suas assíntotas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma hipérbole
com vértices em
e
, e um foco em
. Nosso objetivo é encontrar a equação dessa hipérbole e também as equações de suas assíntotas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente as propriedades das hipérboles.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o centro da hipérbole. Como os vértices são
e
, o centro está no ponto médio entre eles. Calculando:
Então, o centro é na origem
.
Passo 3
Observamos que os vértices estão alinhados ao longo do eixo y, então sabemos que a hipérbole é vertical. A distância do centro aos vértices é
, então:
Também sabemos que a distância do centro a um foco é
. Dado o foco em
, calculamos:
Passo 4
Sabemos que em uma hipérbole, a relação entre
,
e
é:
Substituindo os valores de
e
:
Passo 5
Agora, podemos escrever a equação padrão da hipérbole vertical:
Como o centro
é
, a equação fica:
Passo 6
Para encontrar as assíntotas da hipérbole, usamos a fórmula:
Novamente, com
:
Resposta
A equação da hipérbole é:
E as equações das assíntotas são: