Uma hipérbole H tem vértices nos pontos (0,4) e (0,-4), e um foco no ponto (-5,0). Obtenha a equação da hipérbole e de suas assíntotas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma hipérbole H com vértices em (0,4) e (0,-4), e um foco em (-5,0). Nosso objetivo é encontrar a equação dessa hipérbole e também as equações de suas assíntotas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente as propriedades das hipérboles.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o centro da hipérbole. Como os vértices são (0,4) e (0,-4), o centro está no ponto médio entre eles. Calculando:
Centro (h,k) = ( 0+02, 4 + (-4)2 ) = (0,0)
Então, o centro é na origem (0,0).

Passo 3

Observamos que os vértices estão alinhados ao longo do eixo y, então sabemos que a hipérbole é vertical. A distância do centro aos vértices é a, então:
a = 4
Também sabemos que a distância do centro a um foco é c. Dado o foco em (-5,0), calculamos:
c = raiz( -5 - 0 )^2 + (0 - 0)^2 = 5

Passo 4

Sabemos que em uma hipérbole, a relação entre a, b e c é:
c^2 = a^2 + b^2
Substituindo os valores de a e c:
5^2 = 4^2 + b^2 25 = 16 + b^2 b^2 = 9 b = 3

Passo 5

Agora, podemos escrever a equação padrão da hipérbole vertical:
(y - k)^2a^2 - (x - h)^2b^2 = 1
Como o centro (h,k) é (0,0), a equação fica:
y^216 - x^29 = 1

Passo 6

Para encontrar as assíntotas da hipérbole, usamos a fórmula:
y = k pm ab(x - h)
Novamente, com (h,k) = (0,0):
y = pm 43x

Resposta

A equação da hipérbole é:
y^216 - x^29 = 1
E as equações das assíntotas são:
y = 43x e y = -43x

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