Uma hipérbole tem vértices nos pontos e , e um foco no ponto . Obtenha a equação da hipérbole e de suas assíntotas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma hipérbole com vértices em e , e um foco em . Nosso objetivo é encontrar a equação dessa hipérbole e também as equações de suas assíntotas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente as propriedades das hipérboles.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o centro da hipérbole. Como os vértices são e , o centro está no ponto médio entre eles. Calculando:
Então, o centro é na origem .

Passo 3

Observamos que os vértices estão alinhados ao longo do eixo y, então sabemos que a hipérbole é vertical. A distância do centro aos vértices é , então:
Também sabemos que a distância do centro a um foco é . Dado o foco em , calculamos:

Passo 4

Sabemos que em uma hipérbole, a relação entre , e é:
Substituindo os valores de e :

Passo 5

Agora, podemos escrever a equação padrão da hipérbole vertical:
Como o centro é , a equação fica:

Passo 6

Para encontrar as assíntotas da hipérbole, usamos a fórmula:
Novamente, com :

Resposta

A equação da hipérbole é:
E as equações das assíntotas são:

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1
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