Classifique a posição relativa entre as retas e, caso sejam concorrentes, encontre o ponto de concorrência.
, e passando por e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A pergunta quer que a gente veja como duas retas estão posicionadas uma em relação à outra no espaço. Se elas se cruzarem, a gente também precisa encontrar o ponto onde isso acontece. As retas que vamos analisar são:
  • Reta r(t): , onde é um número real.
  • Reta s: Passa pelos pontos e .
Vamos usar conceitos de geometria analítica para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a direção das duas retas. Para a reta , o vetor diretor é facilmente identificado pelos coeficientes de na equação paramétrica:
Agora, para a reta , precisamos encontrar o vetor diretor usando os pontos e :
Agora temos os vetores diretores das duas retas.

Passo 3

Para verificar se as retas são concorrentes (isto é, se elas se cruzam), vamos tentar encontrar valores de e que satisfaçam as equações paramétricas de ambas as retas ao mesmo tempo.
A equação paramétrica da reta pode ser escrita como:
Queremos encontrar e tais que:
Ou seja:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações:
  1. Da primeira equação:
  1. Da segunda equação:
  1. Substituindo na expressão para :
  1. Agora, vamos verificar se esses valores satisfazem a terceira equação:
Isso não é verdade, então não há solução que satisfaça todas as três equações simultaneamente.

Resposta

As retas r(t) e s não se interceptam e não são paralelas, ou seja, são retas skew no espaço.

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Determine e de modo que:
os planos e sejam paralelos e distintos.
Uma hipérbole tem os focos num dos eixos coordenados e centro na origem. Sabendo que uma das assíntotas de é a reta e que , determine a equação de .