Classifique a posição relativa entre as retas e, caso sejam concorrentes, encontre o ponto de concorrência.
, e
passando por
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A pergunta quer que a gente veja como duas retas estão posicionadas uma em relação à outra no espaço. Se elas se cruzarem, a gente também precisa encontrar o ponto onde isso acontece. As retas que vamos analisar são:
- Reta r(t):
, onde é um número real. - Reta s: Passa pelos pontos
e .
Vamos usar conceitos de geometria analítica para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a direção das duas retas. Para a reta
, o vetor diretor é facilmente identificado pelos coeficientes de
na equação paramétrica:
Agora, para a reta
, precisamos encontrar o vetor diretor usando os pontos
e
:
Agora temos os vetores diretores das duas retas.
Passo 3
Para verificar se as retas são concorrentes (isto é, se elas se cruzam), vamos tentar encontrar valores de
e
que satisfaçam as equações paramétricas de ambas as retas ao mesmo tempo.
A equação paramétrica da reta
pode ser escrita como:
Queremos encontrar
e
tais que:
Ou seja:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema de equações:
- Da primeira equação:
- Da segunda equação:
- Substituindo
na expressão parat = 34 + 1 = 74 :-1 + 3(74) = 3 - 4(34)
- Agora, vamos verificar se esses valores satisfazem a terceira equação:
Isso não é verdade, então não há solução que satisfaça todas as três equações simultaneamente.
Resposta
As retas r(t) e s não se interceptam e não são paralelas, ou seja, são retas skew no espaço.