Classifique a posição relativa entre as retas e, caso sejam concorrentes, encontre o ponto de concorrência. , e passando por e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A pergunta quer que a gente veja como duas retas estão posicionadas uma em relação à outra no espaço. Se elas se cruzarem, a gente também precisa encontrar o ponto onde isso acontece. As retas que vamos analisar são:
Reta r(t): , onde é um número real.
Reta s: Passa pelos pontos e .
Vamos usar conceitos de geometria analítica para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a direção das duas retas. Para a reta , o vetor diretor é facilmente identificado pelos coeficientes de na equação paramétrica:
Agora, para a reta , precisamos encontrar o vetor diretor usando os pontos e :
Agora temos os vetores diretores das duas retas.
Passo 3
Para verificar se as retas são concorrentes (isto é, se elas se cruzam), vamos tentar encontrar valores de e que satisfaçam as equações paramétricas de ambas as retas ao mesmo tempo.
A equação paramétrica da reta pode ser escrita como:
Queremos encontrar e tais que:
Ou seja:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema de equações:
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Substituindo na expressão para :
Agora, vamos verificar se esses valores satisfazem a terceira equação:
Isso não é verdade, então não há solução que satisfaça todas as três equações simultaneamente.
Resposta
As retas r(t) e snão se interceptam e não são paralelas, ou seja, são retas skew no espaço.