Classifique a posição relativa entre as retas e, caso sejam concorrentes, encontre o ponto de concorrência.
r(t)=(1+t, 2,-1+3 t), t in R, e s passando por B=(2,-1,3) e C=(3,3,-1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A pergunta quer que a gente veja como duas retas estão posicionadas uma em relação à outra no espaço. Se elas se cruzarem, a gente também precisa encontrar o ponto onde isso acontece. As retas que vamos analisar são:
  • Reta r(t): , onde é um número real.
  • Reta s: Passa pelos pontos e .
Vamos usar conceitos de geometria analítica para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a direção das duas retas. Para a reta dr = (1, 0, 3) , o vetor diretor é facilmente identificado pelos coeficientes de ds = C - B = (3 - 2, 3 - (-1), -1 - 3) = (1, 4, -4) na equação paramétrica:
Agora, para a reta , precisamos encontrar o vetor diretor usando os pontos e :
Agora temos os vetores diretores das duas retas.

Passo 3

Para verificar se as retas são concorrentes (isto é, se elas se cruzam), vamos tentar encontrar valores de s(u) = (2 + u, -1 + 4u, 3 - 4u) e r(t) = s(u) que satisfaçam as equações paramétricas de ambas as retas ao mesmo tempo.
A equação paramétrica da reta 1 + t = 2 + u 2 = -1 + 4u -1 + 3t = 3 - 4u pode ser escrita como:
Queremos encontrar e tais que:
Ou seja:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações:
  1. Da primeira equação:
1 + t = 2 + u
t = u + 1
  1. Da segunda equação:
2 = -1 + 4u
4u = 3
u = 34
  1. Substituindo t = 34 + 1 = 74 na expressão para -1 + 3(74) = 3 - 4(34) :
-1 + 214 = 3 - 3
  1. Agora, vamos verificar se esses valores satisfazem a terceira equação:
174 = 0
Isso não é verdade, então não há solução que satisfaça todas as três equações simultaneamente.

Resposta

As retas r(t) e s não se interceptam e não são paralelas, ou seja, são retas skew no espaço.

Exercícios relacionados