Determine uma EDO linear homogênea cuja solução geral é dada por: y = c1 * e^x + c2 * e^(5 * x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear homogênea cuja solução geral seja . Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de EDOs de segunda ordem com coeficientes constantes e entender como as soluções estão relacionadas à equação.

Passo 2

Primeiro, sabemos que para uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, a forma geral é:
onde é a segunda derivada de em relação a , é a primeira derivada, e e são constantes.

Passo 3

A solução geral dessa equação tem a forma:
onde e são as raízes da equação característica associada:

Passo 4

No nosso caso, a solução geral é . Isso significa que as raízes da equação característica são e .

Passo 5

Vamos montar a equação característica com essas raízes:
Multiplicando os fatores:

Passo 6

Agora, comparando com a forma geral da equação característica , identificamos que:

Passo 7

Finalmente, substituímos esses valores na forma geral da EDO:

Resposta

A EDO linear homogênea cuja solução geral é é:

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