Determine uma EDO linear homogênea cuja solução geral é dada por:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear homogênea cuja solução geral seja
. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de EDOs de segunda ordem com coeficientes constantes e entender como as soluções estão relacionadas à equação.
Passo 2
Primeiro, sabemos que para uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, a forma geral é:
onde
é a segunda derivada de
em relação a
,
é a primeira derivada, e
e
são constantes.
Passo 3
A solução geral dessa equação tem a forma:
onde
e
são as raízes da equação característica associada:
Passo 4
No nosso caso, a solução geral é
. Isso significa que as raízes da equação característica são
e
.
Passo 5
Vamos montar a equação característica com essas raízes:
Multiplicando os fatores:
Passo 6
Agora, comparando com a forma geral da equação característica
, identificamos que:
Passo 7
Finalmente, substituímos esses valores na forma geral da EDO:
Resposta
A EDO linear homogênea cuja solução geral é
é: