Esboce a curva de nível
com os valores especificados de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar as curvas de nível da função
para os valores de
. Isso faz parte do estudo de superfícies no espaço na matemática, mais especificamente em cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos entender o que são curvas de nível e como representá-las graficamente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma curva de nível. Para uma função de duas variáveis, como
, a curva de nível para um valor específico de
é o conjunto de pontos
que satisfazem a equação
. Isso significa que cada valor de
vai nos dar uma curva diferente no plano
.
Passo 3
Vamos resolver a equação geral das curvas de nível:
. Dependendo do valor de
, a forma da curva muda:
- Se
: A equação representa uma hipérbole que se abre na direção do eixo . - Se
: A equação também representa uma hipérbole, mas que se abre na direção do eixo . - Se
: A equação representa duas retas que se cruzam, formando um “X”.
Passo 4
Vamos esboçar cada curva de nível para os valores dados de
:
-
Para
: Essa é uma hipérbole que se abre na direção do eixo. -
Para
: Outra hipérbole que se abre na direção do eixo, mas mais próxima do centro que a anterior. -
Para
: Isso nos dá duas retas que se cruzam formando um “X”. -
Para
: Agora temos uma hipérbole que se abre na direção do eixo. -
Para
: Outra hipérbole que se abre na direção do eixo, mais afastada do centro que a anterior.
Passo 5
Para visualizar melhor, aqui está um esboço simplificado das curvas de nível:
-
e : Hipérboles que se abrem para cima e para baixo. -
: Duas retas diagonais cruzando no centro. -
e : Hipérboles que se abrem para a direita e para a esquerda.
Resposta
As curvas de nível da função
para
são:
- Para
e : Hipérboles que se abrem na direção do eixo . - Para
: Duas retas e . - Para
e : Hipérboles que se abrem na direção do eixo .
Esses esboços ajudam a visualizar como a função se comporta em diferentes níveis de
.