Esboce a curva de nível z = k com os valores especificados de k.
z = x^2 - y^2 ; k = -2, -1, 0, 1, 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar as curvas de nível da função para os valores de . Isso faz parte do estudo de superfícies no espaço na matemática, mais especificamente em cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos entender o que são curvas de nível e como representá-las graficamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma curva de nível. Para uma função de duas variáveis, como , a curva de nível para um valor específico de é o conjunto de pontos que satisfazem a equação . Isso significa que cada valor de vai nos dar uma curva diferente no plano .

Passo 3

Vamos resolver a equação geral das curvas de nível: . Dependendo do valor de , a forma da curva muda:
  • Se : A equação representa uma hipérbole que se abre na direção do eixo .
  • Se : A equação também representa uma hipérbole, mas que se abre na direção do eixo .
  • Se : A equação representa duas retas que se cruzam, formando um “X”.

Passo 4

Vamos esboçar cada curva de nível para os valores dados de :
  1. Para :
    Essa é uma hipérbole que se abre na direção do eixo .
  2. Para :
    Outra hipérbole que se abre na direção do eixo , mas mais próxima do centro que a anterior.
  3. Para :
    Isso nos dá duas retas que se cruzam formando um “X”.
  4. Para :
    Agora temos uma hipérbole que se abre na direção do eixo .
  5. Para :
    Outra hipérbole que se abre na direção do eixo , mais afastada do centro que a anterior.

Passo 5

Para visualizar melhor, aqui está um esboço simplificado das curvas de nível:
  • e : Hipérboles que se abrem para cima e para baixo.
  • : Duas retas diagonais cruzando no centro.
  • e : Hipérboles que se abrem para a direita e para a esquerda.

Resposta

As curvas de nível da função para são:
  • Para e : Hipérboles que se abrem na direção do eixo .
  • Para : Duas retas e .
  • Para e : Hipérboles que se abrem na direção do eixo .
Esses esboços ajudam a visualizar como a função se comporta em diferentes níveis de .

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