Nos exercícios de 37 a 41, use a definição sobre área liquida com sinal tomando x_k* como extremo direito de cada subintervalo para encontrar a área liquida com sinal entre a curva y = f(x) e o intervalo especificado.
$$
f(x)=x ;[-1,1]$$. Confira sua resposta com um argumento geométrico simples.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a área líquida com sinal entre a curva e o intervalo . Aqui, a função é . Para isso, vamos usar a definição de área líquida com sinal utilizando a soma de Riemann, tomando como o extremo direito de cada subintervalo. Vamos precisar entender um pouco sobre integrais definidas e somas de Riemann para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir o intervalo em subintervalos iguais. O comprimento de cada subintervalo é .

Passo 3

Agora, vamos determinar os pontos finais de cada subintervalo. Como estamos usando o extremo direito, cada será dado por:
onde .

Passo 4

A soma de Riemann com extremos direitos para a função é:

Passo 5

Vamos simplificar a soma:

Passo 6

Agora, para encontrar a área líquida com sinal, tomamos o limite quando tende ao infinito:

Passo 7

Para conferir com um argumento geométrico, observamos que a função é uma linha reta que passa pela origem com inclinação 1. No intervalo , a área acima do eixo (de a ) é igual à área abaixo do eixo (de a ), mas com sinais opostos. Portanto, a área líquida com sinal é zero.

Resposta

A área líquida com sinal entre a curva e o intervalo é zero.

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