Esboce a curva de nível z = k com os valores especificados de k.
z = x^2 + 9y^2 ; k = 0, 1, 2, 3, 4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para esboçar as curvas de nível da função para os valores de . Isso está relacionado ao estudo de curvas de nível, que são aquelas onde a função assume um valor constante. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar equações quadráticas no plano e identificar quais formas geométricas elas descrevem.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Para uma função de duas variáveis como , uma curva de nível é obtida fixando em um valor constante . Então, temos a equação:
Isso se parece com a equação geral de uma elipse, que é uma forma geométrica alongada em duas direções. A forma padrão da equação de uma elipse é:
Comparando com nossa equação , podemos reescrever para se assemelhar à forma da elipse:
Aqui, e , onde e são os comprimentos dos eixos da elipse.

Passo 3

Agora, vamos analisar cada valor de para desenhar as curvas de nível correspondentes:
  1. Para :
    A única solução é e , ou seja, apenas o ponto origem .
  2. Para :
    Isso representa uma elipse com e . Então, a elipse se estende 1 unidade ao longo do eixo e unidade ao longo do eixo .
  3. Para :
    Aqui, e . A elipse é um pouco maior que a anterior.
  4. Para :
    Agora, e . A elipse continua crescendo.
  5. Para :
    Finalmente, e . Esta é a elipse mais larga no conjunto.

Resposta

As curvas de nível para são elipses centradas na origem com os seguintes parâmetros:
  • : Apenas o ponto .
  • : Elipse com semi-eixo maior e semi-eixo menor .
  • : Elipse com e .
  • : Elipse com e .
  • : Elipse com e .
Essas elipses se expandem à medida que aumenta, todas centralizadas na origem do sistema de coordenadas.

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