Esboce a curva de nível
com os valores especificados de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para esboçar as curvas de nível da função
para os valores de
. Isso está relacionado ao estudo de curvas de nível, que são aquelas onde a função assume um valor constante. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar equações quadráticas no plano
e identificar quais formas geométricas elas descrevem.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Para uma função de duas variáveis como
, uma curva de nível é obtida fixando
em um valor constante
. Então, temos a equação:
Isso se parece com a equação geral de uma elipse, que é uma forma geométrica alongada em duas direções. A forma padrão da equação de uma elipse é:
Comparando com nossa equação
, podemos reescrever para se assemelhar à forma da elipse:
Aqui,
e
, onde
e
são os comprimentos dos eixos da elipse.
Passo 3
Agora, vamos analisar cada valor de
para desenhar as curvas de nível correspondentes:
-
Para
: A única solução ée , ou seja, apenas o ponto origem . -
Para
: Isso representa uma elipse come . Então, a elipse se estende 1 unidade ao longo do eixo e unidade ao longo do eixo . -
Para
: Aqui,e . A elipse é um pouco maior que a anterior. -
Para
: Agora,e . A elipse continua crescendo. -
Para
: Finalmente,e . Esta é a elipse mais larga no conjunto.
Resposta
As curvas de nível
para
são elipses centradas na origem com os seguintes parâmetros:
-
: Apenas o ponto . -
: Elipse com semi-eixo maior e semi-eixo menor . -
: Elipse com e . -
: Elipse com e . -
: Elipse com e .
Essas elipses se expandem à medida que
aumenta, todas centralizadas na origem do sistema de coordenadas.