Resolva a equação diferencial . Resolva o problema de valor inicial problema de valor inicial tem solução?

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos traz uma equação diferencial que é e nos dá dois problemas de valor inicial: e . Precisamos resolver essa equação e verificar se existe uma solução para cada um desses problemas. Para resolver, usaremos separação de variáveis, uma técnica útil para esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis. A equação pode ser reescrita como:
Agora, para separar as variáveis, vamos dividir ambos os lados por e multiplicar ambos os lados por :
Agora que temos as variáveis separadas, o próximo passo é integrar ambos os lados.

Passo 3

Vamos integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo, , é uma integral conhecida e resulta em .
No lado direito, a integral de é . Assim, temos:
onde é uma constante que precisamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 4

Agora, vamos aplicar a primeira condição inicial . Substituindo e na equação, temos:
Portanto, nossa equação fica:
Agora, para encontrar , precisamos aplicar a função inversa de arco seno, que é o seno:

Passo 5

Agora, vamos verificar se existe uma solução para o segundo problema de valor inicial . Se tentarmos aplicar esse valor na nossa solução obtida, temos:
Mas, note que a função seno, que está no intervalo de , não pode atingir 2. Isso significa que não existe uma solução para este problema de valor inicial.

Resposta

A solução para o primeiro problema de valor inicial é . Para o segundo problema de valor inicial , não existe solução.

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