Resolva a equação diferencial
. Resolva o problema de valor inicial
problema de valor inicial
tem solução?
Passo 1
Vamos lá! O enunciado nos traz uma equação diferencial que é
e nos dá dois problemas de valor inicial:
e
. Precisamos resolver essa equação e verificar se existe uma solução para cada um desses problemas. Para resolver, usaremos separação de variáveis, uma técnica útil para esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as variáveis. A equação
pode ser reescrita como:
Agora, para separar as variáveis, vamos dividir ambos os lados por
e multiplicar ambos os lados por
:
Agora que temos as variáveis separadas, o próximo passo é integrar ambos os lados.
Passo 3
Vamos integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo,
, é uma integral conhecida e resulta em
.
No lado direito, a integral de
é
. Assim, temos:
onde
é uma constante que precisamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 4
Agora, vamos aplicar a primeira condição inicial
. Substituindo
e
na equação, temos:
Portanto, nossa equação fica:
Agora, para encontrar
, precisamos aplicar a função inversa de arco seno, que é o seno:
Passo 5
Agora, vamos verificar se existe uma solução para o segundo problema de valor inicial
. Se tentarmos aplicar esse valor na nossa solução obtida, temos:
Mas, note que a função seno, que está no intervalo de
, não pode atingir 2. Isso significa que não existe uma solução para este problema de valor inicial.
Resposta
A solução para o primeiro problema de valor inicial é
. Para o segundo problema de valor inicial
, não existe solução.