Determine a equação do caminho que liga a origem ao ponto sobre plano xy , o qual torna a integral estacionária.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de um caminho que liga a origem ao ponto no plano , de modo que a integral seja estacionária. Isso significa que queremos minimizar ou tornar essa integral igual a um valor específico.
Para resolver isso, vamos usar o Cálculo de Variações, que é a ferramenta matemática que nos ajuda a encontrar funções que tornam certas integrais extremas (ou seja, máximas ou mínimas). Precisaremos aplicar o Princípio de Euler-Lagrange, que nos dá uma equação diferencial que a função deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que está dentro da integral, chamada de Lagrangiana. No nosso caso:
Aqui, representa a derivada de em relação a .

Passo 3

Agora, aplicamos a Equação de Euler-Lagrange, que é dada por:
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Primeiro, :
Em seguida, a derivada total em relação a :
Agora, :

Passo 4

Substituindo na Equação de Euler-Lagrange:
Simplificando:
Podemos dividir ambos os lados por 2:

Passo 5

Agora, temos uma equação diferencial linear de segunda ordem:
Vamos resolver essa equação. A solução geral dessa equação é da forma:
Onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 6

Sabemos que o caminho começa na origem e vai até o ponto . Isso nos dá as condições:
  1. Para , :
  1. Para , :

Passo 7

Da primeira condição, temos . Vamos substituir isso na segunda condição:
Então, .

Passo 8

Agora, substituímos e na solução geral:
Podemos simplificar isso usando a função seno hiperbólico ( ):

Resposta

A equação do caminho que liga a é:

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Determine e descreva o caminho para o qual a integral é estacionária.