Determine a equação do caminho que liga a origem
ao ponto
sobre plano xy , o qual torna a integral
estacionária.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de um caminho que liga a origem
ao ponto
no plano
, de modo que a integral
seja estacionária. Isso significa que queremos minimizar ou tornar essa integral igual a um valor específico.
Para resolver isso, vamos usar o Cálculo de Variações, que é a ferramenta matemática que nos ajuda a encontrar funções que tornam certas integrais extremas (ou seja, máximas ou mínimas). Precisaremos aplicar o Princípio de Euler-Lagrange, que nos dá uma equação diferencial que a função
deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que está dentro da integral, chamada de Lagrangiana. No nosso caso:
Aqui,
representa a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Agora, aplicamos a Equação de Euler-Lagrange, que é dada por:
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Primeiro,
:
Em seguida, a derivada total em relação a
:
Agora,
:
Passo 4
Substituindo na Equação de Euler-Lagrange:
Simplificando:
Podemos dividir ambos os lados por 2:
Passo 5
Agora, temos uma equação diferencial linear de segunda ordem:
Vamos resolver essa equação. A solução geral dessa equação é da forma:
Onde
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 6
Sabemos que o caminho começa na origem
e vai até o ponto
. Isso nos dá as condições:
- Para
, :
- Para
, :
Passo 7
Da primeira condição, temos
. Vamos substituir isso na segunda condição:
Então,
.
Passo 8
Agora, substituímos
e
na solução geral:
Podemos simplificar isso usando a função seno hiperbólico (
):
Resposta
A equação do caminho que liga
a
é:
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Determine e descreva o caminho
para o qual a integral
é estacionária.