Determine a equação do caminho que liga a origem O ao ponto P(1,1) sobre plano xy , o qual torna a integral integralO^P(y^prime 2+y y^prime+y^2) d x estacionária.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de um caminho que liga a origem ao ponto no plano , de modo que a integral seja estacionária. Isso significa que queremos minimizar ou tornar essa integral igual a um valor específico.
Para resolver isso, vamos usar o Cálculo de Variações, que é a ferramenta matemática que nos ajuda a encontrar funções que tornam certas integrais extremas (ou seja, máximas ou mínimas). Precisaremos aplicar o Princípio de Euler-Lagrange, que nos dá uma equação diferencial que a função deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que está dentro da integral, chamada de Lagrangiana. No nosso caso:
L = y'^2 + y y' + y^2
Aqui, representa a derivada de em relação a .

Passo 3

Agora, aplicamos a Equação de Euler-Lagrange, que é dada por:
ddx( partial Lpartial y' ) - partial Lpartial y = 0
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Primeiro, partial Lpartial y' = 2 y' + y :
ddx( 2 y' + y ) = 2 y'' + y'
Em seguida, a derivada total em relação a partial Lpartial y = y' + 2 y :
Agora, :

Passo 4

Substituindo na Equação de Euler-Lagrange:
2 y'' + y' - (y' + 2 y) = 0
Simplificando:
2 y'' + y' - y' - 2 y = 0 2 y'' - 2 y = 0
Podemos dividir ambos os lados por 2:
y'' - y = 0

Passo 5

Agora, temos uma equação diferencial linear de segunda ordem:
y'' - y = 0
Vamos resolver essa equação. A solução geral dessa equação é da forma:
y(x) = C1 e^x + C2 e^-x
Onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 6

Sabemos que o caminho começa na origem 0 = C1 e^0 + C2 e^0 Rightarrow 0 = C1 + C2 e vai até o ponto 1 = C1 e^1 + C2 e^-1 . Isso nos dá as condições:
  1. Para , :
  1. Para , :

Passo 7

Da primeira condição, temos 1 = C1 e + (-C1) e^-1 1 = C1 (e - e^-1) C1 = 1e - e^-1 = 1e - 1e = ee^2 - 1 . Vamos substituir isso na segunda condição:
Então, .

Passo 8

Agora, substituímos y(x) = ee^2 - 1 e^x - ee^2 - 1 e^-x y(x) = e^x + 1 - e^1 - xe^2 - 1 e y(x) = e^x - e^-xe - e^-1 = sinh(x)sinh(1) na solução geral:
Podemos simplificar isso usando a função seno hiperbólico ( ):

Resposta

A equação do caminho que liga y(x) = sinh(x)sinh(1) a é:

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