Considere uma massa m movendo-se em duas dimensões com energia potencial
, onde
. Obtenha a Lagrangiana, usando coordenadas x e y, e determine as duas equações de movimento de Lagrange. Descreva as suas soluções. [Essa é a energia potencial de um ion em uma
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. A questão fala sobre uma massa
que se move em duas dimensões e tem uma energia potencial dada por
, onde
. Nosso objetivo é encontrar a Lagrangiana usando as coordenadas
e
, e depois determinar as duas equações de movimento usando as equações de Lagrange. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de energia cinética, energia potencial e como montar a Lagrangiana. Bora lá!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lagrangiana. A Lagrangiana (
) é definida como a diferença entre a energia cinética (
) e a energia potencial (
):
Então, nossa primeira tarefa é encontrar a expressão para a energia cinética da massa nessa situação.
Passo 3
A energia cinética (
) de uma partícula em movimento é dada por:
Onde
é a velocidade da massa. Como estamos trabalhando em duas dimensões, podemos expressar a velocidade em termos das derivadas das coordenadas
e
em relação ao tempo (
):
Então, substituindo na expressão de
:
Passo 4
Agora que temos
e já conhecemos
, podemos montar a Lagrangiana:
Essa é a nossa Lagrangiana em termos das coordenadas
e
.
Passo 5
Para encontrar as equações de movimento, vamos usar as equações de Lagrange, que são dadas por:
Onde
são as coordenadas generalizadas, que no nosso caso são
e
, e
são suas derivadas em relação ao tempo.
Vamos calcular para
e depois para
.
Para
:
Aplicando a equação de Lagrange:
Para
:
E aplicando a equação de Lagrange:
Passo 6
Agora temos as duas equações de movimento:
Essas são equações diferenciais lineares de segunda ordem e cada uma descreve um oscilador harmônico simples nas direções
e
, respectivamente.
A solução geral para cada uma dessas equações é:
Onde:
-
e são as amplitudes das oscilações nas direções e . -
é a frequência angular dos movimentos. -
e são as fases iniciais dessas oscilações.
Isso significa que a massa est�� oscilando de forma harmônica tanto na direção
quanto na direção
, cada uma com a mesma frequência, mas possivelmente com amplitudes e fases diferentes.
Resposta
A Lagrangiana do sistema é
As equações de movimento obtidas são
Essas equações descrevem oscilações harmônicas simples nas direções
e
, com solução geral de movimentos oscilatórios senoidais em ambas as coordenadas.