Considere uma massa m movendo-se em duas dimensões com energia potencial U(x, y)=k r^2, onde r^2=x^2+y^2. Obtenha a Lagrangiana, usando coordenadas x e y, e determine as duas equações de movimento de Lagrange. Descreva as suas soluções. [Essa é a energia potencial de um ion em uma

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. A questão fala sobre uma massa que se move em duas dimensões e tem uma energia potencial dada por , onde . Nosso objetivo é encontrar a Lagrangiana usando as coordenadas e , e depois determinar as duas equações de movimento usando as equações de Lagrange. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de energia cinética, energia potencial e como montar a Lagrangiana. Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lagrangiana. A Lagrangiana ( L = T - U ) é definida como a diferença entre a energia cinética ( ) e a energia potencial ( ):
Então, nossa primeira tarefa é encontrar a expressão para a energia cinética da massa nessa situação.

Passo 3

A energia cinética ( T = 12 m v^2 ) de uma partícula em movimento é dada por:
v^2 = ( dxdt )^2 + ( dydt )^2
Onde T = 12 m ( ( dxdt )^2 + ( dydt )^2 ) é a velocidade da massa. Como estamos trabalhando em duas dimensões, podemos expressar a velocidade em termos das derivadas das coordenadas e em relação ao tempo ( ):
Então, substituindo na expressão de :

Passo 4

Agora que temos L = T - U = 12 m ( ( dxdt )^2 + ( dydt )^2 ) - k (x^2 + y^2) e já conhecemos , podemos montar a Lagrangiana:
Essa é a nossa Lagrangiana em termos das coordenadas e .

Passo 5

Para encontrar as equações de movimento, vamos usar as equações de Lagrange, que são dadas por:
ddt ( partial Lpartial dotqi ) - partial Lpartial qi = 0
Onde partial Lpartial dotx = m dxdt são as coordenadas generalizadas, que no nosso caso são ddt ( m dxdt ) = m d^2xdt^2 e partial Lpartial x = -2k x , e m d^2xdt^2 + 2k x = 0 são suas derivadas em relação ao tempo.
Vamos calcular para partial Lpartial doty = m dydt e depois para ddt ( m dydt ) = m d^2ydt^2 .
Para partial Lpartial y = -2k y :
m d^2ydt^2 + 2k y = 0
Aplicando a equação de Lagrange:
Para :
E aplicando a equação de Lagrange:

Passo 6

Agora temos as duas equações de movimento:
m d^2xdt^2 + 2k x = 0
m d^2ydt^2 + 2k y = 0
Essas são equações diferenciais lineares de segunda ordem e cada uma descreve um oscilador harmônico simples nas direções x(t) = A cos( omega t + phi ) e y(t) = B cos( omega t + psi ) , respectivamente.
A solução geral para cada uma dessas equações é:
Onde:
  • e são as amplitudes das oscilações nas direções e .
  • é a frequência angular dos movimentos.
  • e são as fases iniciais dessas oscilações.
Isso significa que a massa est�� oscilando de forma harmônica tanto na direção quanto na direção , cada uma com a mesma frequência, mas possivelmente com amplitudes e fases diferentes.

Resposta

A Lagrangiana do sistema é
L = 12 m ( ( dxdt )^2 + ( dydt )^2 ) - k (x^2 + y^2)
As equações de movimento obtidas são
m d^2xdt^2 + 2k x = 0
m d^2ydt^2 + 2k y = 0
Essas equações descrevem oscilações harmônicas simples nas direções e , com solução geral de movimentos oscilatórios senoidais em ambas as coordenadas.

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