Determine e descreva o caminho y=y(x) para o qual a integral integralx1^x2 raizx raiz1+y^prime 2 d x é estacionária.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de Cálculo de Variações. A questão quer que a gente encontre a função que torna a integral estacionária. Para resolver isso, vamos precisar usar a Equação de Euler-Lagrange, que é uma ferramenta chave nesse tipo de problema.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que está dentro da integral, que chamamos de Lagrangiana. No nosso caso, a Lagrangiana L(x, y, y') = raizx raiz1 + y'^2 é:

Passo 3

Agora, de acordo com a Equação de Euler-Lagrange, para que a integral seja estacionária, a seguinte condição deve ser satisfeita:
partial Lpartial y - ddx ( partial Lpartial y' ) = 0
No nosso caso, a Lagrangiana não depende explicitamente de , então .

Passo 4

Então, a equação simplifica para:
- ddx ( partial Lpartial y' ) = 0 Rightarrow partial Lpartial y' = constante
Vamos calcular partial Lpartial y' = raizx cdot y'raiz1 + y'^2 :
raizx cdot y'raiz1 + y'^2 = C
Então, temos:
onde é uma constante.

Passo 5

Vamos resolver essa equação para y'raiz1 + y'^2 = Craizx . Primeiro, isolamos y'^21 + y'^2 = C^2x :
y'^2 = C^2x (1 + y'^2)
Elevando ao quadrado dos dois lados:
y'^2 = C^2x + C^2x y'^2
Multiplicando ambos os lados por y'^2 (1 - C^2x) = C^2x :
y'^2 = C^2/x1 - C^2/x = C^2x - C^2
Expandindo:
Vamos isolar :

Passo 6

Agora, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar y' = Craizx - C^2 :
Isso nos dá uma equação diferencial que podemos integrar para encontrar .

Passo 7

Vamos integrar ambos os lados para encontrar integral dy = integral Craizx - C^2 , dx :
y = C integral 1raizu , du = 2C raizu + D = 2C raizx - C^2 + D
A integral do lado direito pode ser resolvida por substituição. Seja , então :
onde é a constante de integração.

Resposta

O caminho que torna a integral estacionária é dado por:
y(x) = 2C raizx - C^2 + D
onde e são constantes que podem ser determinadas por condições de contorno específicas.

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