Determine e descreva o caminho
para o qual a integral
é estacionária.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de Cálculo de Variações. A questão quer que a gente encontre a função
que torna a integral
estacionária. Para resolver isso, vamos precisar usar a Equação de Euler-Lagrange, que é uma ferramenta chave nesse tipo de problema.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que está dentro da integral, que chamamos de Lagrangiana. No nosso caso, a Lagrangiana
é:
Passo 3
Agora, de acordo com a Equação de Euler-Lagrange, para que a integral seja estacionária, a seguinte condição deve ser satisfeita:
No nosso caso, a Lagrangiana
não depende explicitamente de
, então
.
Passo 4
Então, a equação simplifica para:
Vamos calcular
:
Então, temos:
onde
é uma constante.
Passo 5
Vamos resolver essa equação para
. Primeiro, isolamos
:
Elevando ao quadrado dos dois lados:
Multiplicando ambos os lados por
:
Expandindo:
Vamos isolar
:
Passo 6
Agora, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar
:
Isso nos dá uma equação diferencial que podemos integrar para encontrar
.
Passo 7
Vamos integrar ambos os lados para encontrar
:
A integral do lado direito pode ser resolvida por substituição. Seja
, então
:
onde
é a constante de integração.
Resposta
O caminho que torna a integral estacionária é dado por:
onde
e
são constantes que podem ser determinadas por condições de contorno específicas.
Exercícios relacionados
Considere uma massa m movendo-se em duas dimensões com energia potencial
, onde
. Obtenha a Lagrangiana, usando coordenadas x e y, e determine as duas equações de movimento de Lagrange. Descreva as suas soluções. [Essa é a energia potencial de um ion em uma
Determine a equação do caminho que liga a origem
ao ponto
sobre plano xy , o qual torna a integral
estacionária.
Obtenha a Lagrangiana para um cilindro (massa m , raio R e momento de inércia I) que rola, sem deslizar, para baixo em uma rampa plana que tem um ângulo
com a horizontal. Use como suas coordenadas generalizadas a distância x do cilindro medida para baixo ao longo da rampa a partir de sua posição inicial. Escreva a equação de Lagrange e resolva-a para a aceleração
. Lembre-se de que
, onde v é a velocidade do centro de massa e
a velocidade angular.
Mostre que o caminho
para o qual a integral
é estacionária é uma função arcsenh.