Determine e descreva o caminho para o qual a integral é estacionária.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de Cálculo de Variações. A questão quer que a gente encontre a função que torna a integral estacionária. Para resolver isso, vamos precisar usar a Equação de Euler-Lagrange, que é uma ferramenta chave nesse tipo de problema.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que está dentro da integral, que chamamos de Lagrangiana. No nosso caso, a Lagrangiana é:

Passo 3

Agora, de acordo com a Equação de Euler-Lagrange, para que a integral seja estacionária, a seguinte condição deve ser satisfeita:
No nosso caso, a Lagrangiana não depende explicitamente de , então .

Passo 4

Então, a equação simplifica para:
Vamos calcular :
Então, temos:
onde é uma constante.

Passo 5

Vamos resolver essa equação para . Primeiro, isolamos :
Elevando ao quadrado dos dois lados:
Multiplicando ambos os lados por :
Expandindo:
Vamos isolar :

Passo 6

Agora, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar :
Isso nos dá uma equação diferencial que podemos integrar para encontrar .

Passo 7

Vamos integrar ambos os lados para encontrar :
A integral do lado direito pode ser resolvida por substituição. Seja , então :
onde é a constante de integração.

Resposta

O caminho que torna a integral estacionária é dado por:
onde e são constantes que podem ser determinadas por condições de contorno específicas.

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Mostre que o caminho para o qual a integral é estacionária é uma função arcsenh.