Determine a equação cartesiana do círculo osculador da parábola
no ponto
. Faça um esboço da parábola e do círculo osculador encontrado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a equação cartesiana do círculo osculador da parábola
no ponto
. O conteúdo que vamos usar aqui envolve geometria analítica e cálculo diferencial, especificamente derivadas para entender a curvatura da parábola no ponto dado.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é um círculo osculador. O círculo osculador é o círculo que “toca” a curva em um ponto específico, compartilhando o mesmo tangente e a mesma curvatura nesse ponto. Basicamente, ele aproxima a curva naquele ponto de forma muito precisa.
Passo 3
Para encontrar o círculo osculador, vamos precisar dos seguintes passos matemáticos:
- Encontrar a primeira derivada da parábola para determinar a reta tangente no ponto
. - Encontrar a segunda derivada para calcular a curvatura da parábola no ponto
. - Usar a curvatura para achar o raio de curvatura ®.
- Determinar o centro do círculo osculador a partir do ponto
na direção da normal. - Com o raio e o centro, escrever a equação do círculo.
Vamos começar!
Passo 4
1. Encontrar a primeira derivada da parábola
.
A primeira derivada de
em relação a
, denotada por
, nos dá a inclinação da reta tangente à parábola em qualquer ponto
.
No ponto
, substituímos
:
Então, a inclinação da tangente no ponto
é 0, ou seja, a reta tangente é horizontal.
Passo 5
2. Encontrar a segunda derivada para calcular a curvatura.
A segunda derivada,
, nos ajuda a entender como a inclinação da curva está mudando, ou seja, a curvatura.
A curvatura
em um ponto de uma curva é dada por:
Substituindo
e
:
3. Calcular o raio de curvatura
.
O raio de curvatura é o inverso da curvatura:
Passo 6
4. Determinar o centro do círculo osculador.
O centro do círculo osculador está localizado a uma distância
na direção da normal à curva no ponto
.
Primeiro, precisamos encontrar a direção da normal. A reta normal é perpendicular à reta tangente. Como a tangente é horizontal (inclinação 0), a normal será vertical.
Como a curvatura é positiva e a parábola abre para cima, o centro do círculo osculador estará acima do ponto
.
Portanto, o centro
está localizado a uma distância
para cima de
:
Passo 7
5. Escrever a equação do círculo osculador.
A equação geral de um círculo com centro
e raio
é:
Substituindo
,
e
:
Simplificando:
Resposta
A equação cartesiana do círculo osculador da parábola
no ponto
é:
Esboço
Parábola
:
- Vértice em
, simétrica em relação ao eixo .
Círculo osculador:
- Centro em
- Raio
Ambos se tocam no ponto
, formando uma figura onde o círculo “abraça” a parábola perfeitamente naquele ponto.