Determine a equação cartesiana do círculo osculador da parábola
y = x^2
no ponto P=(0,0). Faça um esboço da parábola e do círculo osculador encontrado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a equação cartesiana do círculo osculador da parábola no ponto . O conteúdo que vamos usar aqui envolve geometria analítica e cálculo diferencial, especificamente derivadas para entender a curvatura da parábola no ponto dado.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é um círculo osculador. O círculo osculador é o círculo que “toca” a curva em um ponto específico, compartilhando o mesmo tangente e a mesma curvatura nesse ponto. Basicamente, ele aproxima a curva naquele ponto de forma muito precisa.

Passo 3

Para encontrar o círculo osculador, vamos precisar dos seguintes passos matemáticos:
  1. Encontrar a primeira derivada da parábola para determinar a reta tangente no ponto .
  2. Encontrar a segunda derivada para calcular a curvatura da parábola no ponto .
  3. Usar a curvatura para achar o raio de curvatura ®.
  4. Determinar o centro do círculo osculador a partir do ponto na direção da normal.
  5. Com o raio e o centro, escrever a equação do círculo.
Vamos começar!

Passo 4

1. Encontrar a primeira derivada da parábola .
A primeira derivada de em relação a , denotada por , nos dá a inclinação da reta tangente à parábola em qualquer ponto .
No ponto , substituímos :
Então, a inclinação da tangente no ponto é 0, ou seja, a reta tangente é horizontal.

Passo 5

2. Encontrar a segunda derivada para calcular a curvatura.
A segunda derivada, , nos ajuda a entender como a inclinação da curva está mudando, ou seja, a curvatura.
A curvatura em um ponto de uma curva é dada por:
Substituindo e :
3. Calcular o raio de curvatura .
O raio de curvatura é o inverso da curvatura:

Passo 6

4. Determinar o centro do círculo osculador.
O centro do círculo osculador está localizado a uma distância na direção da normal à curva no ponto .
Primeiro, precisamos encontrar a direção da normal. A reta normal é perpendicular à reta tangente. Como a tangente é horizontal (inclinação 0), a normal será vertical.
Como a curvatura é positiva e a parábola abre para cima, o centro do círculo osculador estará acima do ponto .
Portanto, o centro está localizado a uma distância para cima de :

Passo 7

5. Escrever a equação do círculo osculador.
A equação geral de um círculo com centro e raio é:
Substituindo , e :
Simplificando:

Resposta

A equação cartesiana do círculo osculador da parábola no ponto é:

Esboço

Parábola :
  • Vértice em , simétrica em relação ao eixo .
Círculo osculador:
  • Centro em
  • Raio
Ambos se tocam no ponto , formando uma figura onde o círculo “abraça” a parábola perfeitamente naquele ponto.

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