Determine o comprimento de arco da curva, cujas equações paramétricas são
em que
.
Passo 1
Então, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o comprimento de arco de uma curva que está definida por três equações paramétricas:
onde
varia de 0 a 1. Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente a fórmula do comprimento de arco para curvas no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma curva parametrizada no espaço. Se temos uma curva definida por
, o comprimento de arco
de
até
é dado por:
Isso significa que precisamos encontrar as derivadas de
,
e
em relação a
, calcular o quadrado de cada uma, somar tudo e tirar a raiz quadrada. Depois, integramos isso de
até
.
Passo 3
Vamos começar calculando as derivadas de cada função em relação a
:
- Derivada de
:
Aqui usamos a regra do produto: derivada de
é
e derivada de
é
.
- Derivada de
:
Novamente, regra do produto: derivada de
é
e derivada de
é
.
- Derivada de
:
A derivada de
é simplesmente
.
Passo 4
Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do comprimento de arco:
Vamos simplificar dentro da raiz para facilitar a integração.
Passo 5
Vamos expandir os termos dentro da raiz:
- Primeiro termo ao quadrado:
- Segundo termo ao quadrado:
- Terceiro termo ao quadrado:
Passo 6
Agora, somamos todos esses termos:
Vamos simplificar:
- Primeiro e segundo termos combinados:
Sabendo que
, temos:
- Somando com o terceiro termo:
Passo 7
Agora que simplificamos dentro da raiz, a expressão para o comprimento de arco fica:
A raiz de
é
, pois
.
Passo 8
Vamos tirar a constante
para fora da integral:
Agora, precisamos integrar
de 0 a 1.
Passo 9
A integral de
em relação a
é simplesmente
. Portanto:
Passo 10
Substituindo de volta na expressão para
:
Resposta
O comprimento de arco da curva é
.
Exercícios relacionados
Determine uma equação vetorial e as equações paramétricas da reta tangente à curva:
no ponto
.
Considere a seguinte função vetorial:
A função
é contínua em
? Justifique a sua resposta.
-) O CV não tem unidade e, por isso, serve para comparar variabilidade entre quaisquer variáveis quantitativas.