Determine o comprimento de arco da curva, cujas equações paramétricas são
em que .

Passo 1

Então, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o comprimento de arco de uma curva que está definida por três equações paramétricas:
onde varia de 0 a 1. Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente a fórmula do comprimento de arco para curvas no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma curva parametrizada no espaço. Se temos uma curva definida por , o comprimento de arco de até é dado por:
Isso significa que precisamos encontrar as derivadas de , e em relação a , calcular o quadrado de cada uma, somar tudo e tirar a raiz quadrada. Depois, integramos isso de até .

Passo 3

Vamos começar calculando as derivadas de cada função em relação a :
  1. Derivada de :
Aqui usamos a regra do produto: derivada de é e derivada de é .
  1. Derivada de :
Novamente, regra do produto: derivada de é e derivada de é .
  1. Derivada de :
A derivada de é simplesmente .

Passo 4

Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do comprimento de arco:
Vamos simplificar dentro da raiz para facilitar a integração.

Passo 5

Vamos expandir os termos dentro da raiz:
  1. Primeiro termo ao quadrado:
  1. Segundo termo ao quadrado:
  1. Terceiro termo ao quadrado:

Passo 6

Agora, somamos todos esses termos:
Vamos simplificar:
  • Primeiro e segundo termos combinados:
Sabendo que , temos:
  • Somando com o terceiro termo:

Passo 7

Agora que simplificamos dentro da raiz, a expressão para o comprimento de arco fica:
A raiz de é , pois .

Passo 8

Vamos tirar a constante para fora da integral:
Agora, precisamos integrar de 0 a 1.

Passo 9

A integral de em relação a é simplesmente . Portanto:

Passo 10

Substituindo de volta na expressão para :

Resposta

O comprimento de arco da curva é .

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Determine uma equação vetorial e as equações paramétricas da reta tangente à curva:
no ponto .
Considere a seguinte função vetorial:
A função é contínua em ? Justifique a sua resposta.
-) O CV não tem unidade e, por isso, serve para comparar variabilidade entre quaisquer variáveis quantitativas.