Determine o comprimento de arco da curva, cujas equações paramétricas são
x = e^t cos(t), y = e^t sen(t), z = e^t
em que t in [0, 1].

Passo 1

Então, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o comprimento de arco de uma curva que está definida por três equações paramétricas:
onde t varia de 0 a 1. Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente a fórmula do comprimento de arco para curvas no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma curva parametrizada no espaço. Se temos uma curva definida por , o comprimento de arco S de até é dado por:
Isso significa que precisamos encontrar as derivadas de x, y e z em relação a t, calcular o quadrado de cada uma, somar tudo e tirar a raiz quadrada. Depois, integramos isso de até .

Passo 3

Vamos começar calculando as derivadas de cada função em relação a t:
  1. Derivada de x(t):
Aqui usamos a regra do produto: derivada de e^t é e^t e derivada de cos(t) é .
  1. Derivada de y(t):
Novamente, regra do produto: derivada de e^t é e^t e derivada de é cos(t).
  1. Derivada de z(t):
A derivada de e^t é simplesmente e^t.

Passo 4

Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do comprimento de arco:
Vamos simplificar dentro da raiz para facilitar a integração.

Passo 5

Vamos expandir os termos dentro da raiz:
  1. Primeiro termo ao quadrado:
  1. Segundo termo ao quadrado:
  1. Terceiro termo ao quadrado:

Passo 6

Agora, somamos todos esses termos:
Vamos simplificar:
  • Primeiro e segundo termos combinados:
Sabendo que , temos:
  • Somando com o terceiro termo:

Passo 7

Agora que simplificamos dentro da raiz, a expressão para o comprimento de arco fica:
A raiz de é , pois .

Passo 8

Vamos tirar a constante raiz(3) para fora da integral:
Agora, precisamos integrar e^t de 0 a 1.

Passo 9

A integral de e^t em relação a t é simplesmente e^t. Portanto:

Passo 10

Substituindo de volta na expressão para S:

Resposta

O comprimento de arco da curva é .

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