Determine uma equação vetorial e as equações paramétricas da reta tangente à curva:
r(t) = (e^(-t) * cos(t), e^(-t) * sen(t), e^(-t))
no ponto 1,0,1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a reta tangente à curva definida por no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas e equações de retas no espaço. Vamos precisar achar o valor de que corresponde a esse ponto na curva e depois calcular a derivada para encontrar a direção da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir qual valor de faz com que . Vamos igualar cada componente:
A terceira equação, , nos dá , já que .

Passo 3

Agora que sabemos que corresponde ao ponto dado, vamos calcular a derivada de , que nos dá o vetor velocidade ou a direção da reta tangente. A derivada de é:
Vamos calcular cada componente separadamente usando a regra do produto:
Portanto,

Passo 4

Vamos agora avaliar em :
Esse vetor é a direção da reta tangente.

Passo 5

Com o ponto e o vetor direcional , podemos escrever as equações paramétricas da reta tangente:
Aqui, é o parâmetro que varia ao longo da reta.

Passo 6

A equação vetorial da reta pode ser escrita usando o ponto inicial e o vetor direcional:
Onde é o parâmetro.

Resposta

A equação vetorial da reta tangente é:
As equações paramétricas da reta tangente são:
Onde é o parâmetro.

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