Determine uma equação vetorial e as equações paramétricas da reta tangente à curva: no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a reta tangente à curva definida por no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas e equações de retas no espaço. Vamos precisar achar o valor de que corresponde a esse ponto na curva e depois calcular a derivada para encontrar a direção da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir qual valor de faz com que . Vamos igualar cada componente: A terceira equação, , nos dá , já que .

Passo 3

Agora que sabemos que corresponde ao ponto dado, vamos calcular a derivada de , que nos dá o vetor velocidade ou a direção da reta tangente. A derivada de é: Vamos calcular cada componente separadamente usando a regra do produto: Portanto,

Passo 4

Vamos agora avaliar em : Esse vetor é a direção da reta tangente.

Passo 5

Com o ponto e o vetor direcional , podemos escrever as equações paramétricas da reta tangente: Aqui, é o parâmetro que varia ao longo da reta.

Passo 6

A equação vetorial da reta pode ser escrita usando o ponto inicial e o vetor direcional: Onde é o parâmetro.

Resposta

A equação vetorial da reta tangente é: As equações paramétricas da reta tangente são: Onde é o parâmetro.

Exercícios relacionados

Considere a seguinte função vetorial: A função é contínua em ? Justifique a sua resposta.
Esboce a região do plano composta pelos pontos cujas coordenadas polares satisfazem as condições fornecidas. 1. $1
Determine o comprimento de arco da curva, cujas equações paramétricas são em que .