Para que valores de m os pontos A(m, 1,2), B(2,-2,-3), C(5,-1,1) e D(3,-2,2) são coplanares?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos quatro pontos no espaço: , , e . A questão quer saber para quais valores de esses quatro pontos estão todos no mesmo plano, ou seja, são coplanares. Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores e produto misto na geometria analítica.

Passo 2

Para verificar se os quatro pontos são coplanares, vamos calcular o produto misto dos vetores formados pelos pontos. Primeiro, precisamos encontrar os vetores AB = B - A = (2 - m, -2 - 1, -3 - 2) = (2 - m, -3, -5) , AC = C - A = (5 - m, -1 - 1, 1 - 2) = (5 - m, -2, -1) e AD = D - A = (3 - m, -2 - 1, 2 - 2) = (3 - m, -3, 0) .

Passo 3

Agora, calculamos o produto misto AC times AD = i & j & k 5 - m & -2 & -1 3 - m & -3 & 0 = i((-2)(0) - (-1)(-3)) - j((5 - m)(0) - (-1)(3 - m)) + k((5 - m)(-3) - (-2)(3 - m)) . Se esse produto for igual a zero, os quatro pontos são coplanares.
Primeiro, calculamos o produto vetorial = i(0 - 3) - j(0 - (-3 + m)) + k(-15 + 3m + 6 - 2m) :
= -3i + (3 - m)j + (-9 + m)k
AB cdot (AC times AD) = (2 - m)(-3) + (-3)(3 - m) + (-5)(-9 + m)
= -3(2 - m) -3(3 - m) + (-5)(-9 + m)
Agora, fazemos o produto escalar com = -6 + 3m -9 + 3m +45 -5m :
= (3m + 3m - 5m) + (-6 -9 +45)
= m + 30

Passo 4

Para os pontos serem coplanares, o produto misto deve ser zero:
m + 30 = 0
m = -30

Resposta

O valor de para que os pontos , , e sejam coplanares é .

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