Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos quatro pontos no espaço: , , e . A questão quer saber para quais valores de esses quatro pontos estão todos no mesmo plano, ou seja, são coplanares. Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores e produto misto na geometria analítica.
Passo 2
Para verificar se os quatro pontos são coplanares, vamos calcular o produto misto dos vetores formados pelos pontos. Primeiro, precisamos encontrar os vetores , e .
Passo 3
Agora, calculamos o produto misto . Se esse produto for igual a zero, os quatro pontos são coplanares.
Primeiro, calculamos o produto vetorial :
AB cdot (AC times AD) = (2 - m)(-3) + (-3)(3 - m) + (-5)(-9 + m)
= -3(2 - m) -3(3 - m) + (-5)(-9 + m)
Agora, fazemos o produto escalar com = -6 + 3m -9 + 3m +45 -5m :
= (3m + 3m - 5m) + (-6 -9 +45)
= m + 30
Passo 4
Para os pontos serem coplanares, o produto misto deve ser zero:
m + 30 = 0
m = -30
Resposta
O valor de para que os pontos , , e sejam coplanares é .