Determine se a equação diferencial é exata. Se for, resolva-a (
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial e precisa descobrir se ela é exata. Se for, a gente resolve encontrando uma função que se ajusta a ela. Para isso, vamos usar alguns conceitos de cálculo de equações diferenciais, como derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar quais são as partes da nossa equação. A equação dada é:
Aqui, podemos ver que:
- M (a função que multiplica
) é - N (a função que multiplica
) é
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de M em relação a
. Isso significa derivar
mantendo
constante:
Derivando termo a termo:
- A derivada de
em relação a é (usando a regra do produto). - A derivada de
em relação a é (usando a regra da cadeia).
Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de N em relação a
. Ou seja, derivar
mantendo
constante:
Derivando termo a termo:
- A derivada de
em relação a é 0, já que não depende de . - A derivada de
em relação a é .
Então,
Passo 5
Agora, pra ver se a equação é exata, a gente compara as duas derivadas parciais que calculamos:
Como
, a equação não é exata.
Resposta
A equação diferencial dada não é exata, pois
.