Determine se a equação diferencial é exata. Se for, resolva-a ( 1,5 pts.
(y ln y - e^(-x y)) dx + (1/y + x ln y) dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial e precisa descobrir se ela é exata. Se for, a gente resolve encontrando uma função que se ajusta a ela. Para isso, vamos usar alguns conceitos de cálculo de equações diferenciais, como derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar quais são as partes da nossa equação. A equação dada é:
Aqui, podemos ver que:
  • M (a função que multiplica ) é
  • N (a função que multiplica ) é

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de M em relação a . Isso significa derivar mantendo constante:
Derivando termo a termo:
  1. A derivada de em relação a é (usando a regra do produto).
  2. A derivada de em relação a é (usando a regra da cadeia).
Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de N em relação a . Ou seja, derivar mantendo constante:
Derivando termo a termo:
  1. A derivada de em relação a é 0, já que não depende de .
  2. A derivada de em relação a é .
Então,

Passo 5

Agora, pra ver se a equação é exata, a gente compara as duas derivadas parciais que calculamos:
Como , a equação não é exata.

Resposta

A equação diferencial dada não é exata, pois .

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