1-4 Determine se a equação diferencial é linear.
3. x * y^2 + ln(x) - x^2 * y = 0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. A questão é determinar se a equação que temos é uma equação diferencial linear. A equação que estamos analisando é:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que faz uma equação diferencial ser linear e identificar os componentes da nossa equação que se encaixam nessa definição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação diferencial linear. Uma equação diferencial de primeira ordem é considerada linear se puder ser escrita na forma:
ou seja, a variável dependente e sua derivada aparecem apenas de forma linear (não estão elevadas a potências, multiplicadas entre si, etc.).

Passo 3

Agora, vamos analisar a equação que temos:
Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixar claro quais são os termos que envolvem e quais são apenas funções de :

Passo 4

Para verificar se a equação é linear, vamos ver se ela pode ser escrita na forma padrão de uma equação diferencial linear. Observando os termos:
  • O termo apresenta elevado ao quadrado.
  • O termo é linear em .
  • O termo é uma função de .
A presença de indica que a equação não está linear, porque, conforme vimos, deve aparecer apenas na primeira potência e não ser multiplicado por outros termos que envolvem .

Passo 5

Além disso, na definição de equação diferencial linear, o termo que envolve deve ser multiplicado por uma função de , e os termos não envolvendo devem ser apenas funções de . Aqui, o termo não segue essa regra porque está ao quadrado, o que torna a equação não linear.

Resposta

Portanto, a equação diferencial
não é linear.

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