1-4 Determine se a equação diferencial é linear.
3.
3.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. A questão é determinar se a equação que temos é uma equação diferencial linear. A equação que estamos analisando é:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que faz uma equação diferencial ser linear e identificar os componentes da nossa equação que se encaixam nessa definição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação diferencial linear. Uma equação diferencial de primeira ordem é considerada linear se puder ser escrita na forma:
ou seja, a variável dependente
e sua derivada
aparecem apenas de forma linear (não estão elevadas a potências, multiplicadas entre si, etc.).
Passo 3
Agora, vamos analisar a equação que temos:
Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixar claro quais são os termos que envolvem
e quais são apenas funções de
:
Passo 4
Para verificar se a equação é linear, vamos ver se ela pode ser escrita na forma padrão de uma equação diferencial linear. Observando os termos:
- O termo
apresenta elevado ao quadrado. - O termo
é linear em . - O termo
é uma função de .
A presença de
indica que a equação não está linear, porque, conforme vimos,
deve aparecer apenas na primeira potência e não ser multiplicado por outros termos que envolvem
.
Passo 5
Além disso, na definição de equação diferencial linear, o termo que envolve
deve ser multiplicado por uma função de
, e os termos não envolvendo
devem ser apenas funções de
. Aqui, o termo
não segue essa regra porque
está ao quadrado, o que torna a equação não linear.
Resposta
Portanto, a equação diferencial
não é linear.
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1-4 Determine se a equação diferencial é linear.
I.
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EXERCICIOS
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12.
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