15-20 Resolva o problema de valor inicial.
15. y' + y = x + e^2, y(0) = 0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial de primeira ordem: com a condição inicial . Para resolver isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica bem útil para esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa equação. Ela está na forma padrão , onde aqui e . Nosso objetivo é encontrar uma função que, quando multiplicada por essa equação, facilite a resolução.

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que vai simplificar a equação. A fórmula para o fator integrante é . Como , temos:
Então, nosso fator integrante é e^x.

Passo 4

Agora, vamos multiplicar toda a equação original pelo fator integrante que acabamos de encontrar:
Observe que o lado esquerdo da equação agora se torna a derivada de em relação a x:

Passo 5

Com a equação simplificada, vamos integrar ambos os lados em relação a x para encontrar y:
A integral do lado esquerdo é simplesmente . Vamos resolver as integrais do lado direito:
  1. Para , usamos integração por partes:
    • Seja e .
    • Então, e .
    • Aplicando integração por partes: .
  2. Para , basta reconhecer que é uma integral simples:
    • , onde C é a constante de integração.
Juntando tudo:

Passo 6

Vamos resolver para y dividindo todos os termos por e^x:

Passo 7

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar a constante C:
Simplificando:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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5-14 Resolva a equação diferencial.
12. x dy/dx - 4y = x^4 e^d
1-4 Determine se a equação diferencial é linear.
3. x * y^2 + ln(x) - x^2 * y = 0
Encontre o limite. Use a regra do L lim x 0^+ x^x^2;
Usando o limite fundamental lim x infty(1+1x)^x=e. Calcule os seguintes limites:
lim x -infty(1+1x)^x