15-20 Resolva o problema de valor inicial.
15.
15.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial de primeira ordem:
com a condição inicial
. Para resolver isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica bem útil para esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa equação. Ela está na forma padrão
, onde aqui
e
. Nosso objetivo é encontrar uma função que, quando multiplicada por essa equação, facilite a resolução.
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que vai simplificar a equação. A fórmula para o fator integrante é
. Como
, temos:
Então, nosso fator integrante é
.
Passo 4
Agora, vamos multiplicar toda a equação original pelo fator integrante que acabamos de encontrar:
Observe que o lado esquerdo da equação agora se torna a derivada de
em relação a
:
Passo 5
Com a equação simplificada, vamos integrar ambos os lados em relação a
para encontrar
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
. Vamos resolver as integrais do lado direito:
-
Para
, usamos integração por partes: - Seja
e . - Então,
e . - Aplicando integração por partes:
.
- Seja
-
Para
, basta reconhecer que é uma integral simples: -
, onde é a constante de integração.
-
Juntando tudo:
Passo 6
Vamos resolver para
dividindo todos os termos por
:
Passo 7
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Simplificando:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
5-14 Resolva a equação diferencial.
12.
12.
1-4 Determine se a equação diferencial é linear.
3.
3.
Encontre o limite. Use a regra do L
;
Usando o limite fundamental
. Calcule os seguintes limites: