5-14 Resolva a equação diferencial.
12. x dy/dx - 4y = x^4 e^d

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é . Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos reorganizar a equação na forma padrão e usar um fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações lineares:
Para isso, dividimos ambos os lados por :
Agora, identificamos:

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante , que é dado por:
Calculando a integral de :
Simplificando usando propriedades dos logaritmos:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando cada termo:
A equação fica então:
Isso acontece porque multiplicar pela fator integrante transforma o lado esquerdo em uma derivada de um produto.

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
A integração do lado esquerdo simplifica para:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, isolamos para encontrar a solução geral da equação diferencial:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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1-4 Determine se a equação diferencial é linear.
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1-4 Determine se a equação diferencial é linear.
I. y' + e' y = x^2 y^2
15-20 Resolva o problema de valor inicial.
15. y' + y = x + e^2, y(0) = 0
Encontre o limite. Use a regra do L lim x 0^+ x^x^2;