5-14 Resolva a equação diferencial.
12.
12.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é
. Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos reorganizar a equação na forma padrão e usar um fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações lineares:
Para isso, dividimos ambos os lados por
:
Agora, identificamos:
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Calculando a integral de
:
Simplificando usando propriedades dos logaritmos:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando cada termo:
A equação fica então:
Isso acontece porque multiplicar pela fator integrante transforma o lado esquerdo em uma derivada de um produto.
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
A integração do lado esquerdo simplifica para:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Finalmente, isolamos
para encontrar a solução geral da equação diferencial:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
1-4 Determine se a equação diferencial é linear.
3.
3.
1-4 Determine se a equação diferencial é linear.
I.
I.
15-20 Resolva o problema de valor inicial.
15.
15.
Encontre o limite. Use a regra do L
;