Determine uma equação diferencial de menor ordem possível, que não contenha constantes arbitrárias e que possua as seguintes soluções: y = C1 e^(3x) + C2 e^(2x) + C3 e^(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar uma equação diferencial de menor ordem possível que não tenha constantes arbitrárias e que tenha como soluções . Esse tipo de problema envolve equações lineares com soluções exponenciais, e para resolver vamos precisar usar a teoria das equações diferenciais lineares de coeficientes constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se temos soluções da forma , onde é uma constante, então essas soluções estão relacionadas aos autovalores ou raízes características da equação diferencial. Nosso objetivo é encontrar a equação cuja solução geral seja uma combinação linear dessas exponenciais.

Passo 3

Vamos identificar os valores de para cada termo na solução dada:
  • Para ,
  • Para ,
  • Para ,
Esses valores de serão as raízes da equação característica da nossa equação diferencial.

Passo 4

A equação característica é formada pelos valores de de acordo com a ordem da equação diferencial. Como temos três valores diferentes de (3, 2 e 1), a equação diferencial terá ordem 3. A equação característica será:

Passo 5

Vamos expandir essa equação característica para obter a forma polinomial:

Passo 6

Agora, sabemos que a equação diferencial correspondente a essa equação característica é obtida substituindo por na equação polinomial:

Resposta

A equação diferencial de menor ordem possível que satisfaz as soluções dadas é:

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