Determine uma equação diferencial de menor ordem possível, que não contenha constantes arbitrárias e que possua as seguintes soluções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar uma equação diferencial de menor ordem possível que não tenha constantes arbitrárias e que tenha como soluções
. Esse tipo de problema envolve equações lineares com soluções exponenciais, e para resolver vamos precisar usar a teoria das equações diferenciais lineares de coeficientes constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se temos soluções da forma
, onde
é uma constante, então essas soluções estão relacionadas aos autovalores ou raízes características da equação diferencial. Nosso objetivo é encontrar a equação cuja solução geral seja uma combinação linear dessas exponenciais.
Passo 3
Vamos identificar os valores de
para cada termo na solução dada:
- Para
, - Para
, - Para
,
Esses valores de
serão as raízes da equação característica da nossa equação diferencial.
Passo 4
A equação característica é formada pelos valores de
de acordo com a ordem da equação diferencial. Como temos três valores diferentes de
(3, 2 e 1), a equação diferencial terá ordem 3. A equação característica será:
Passo 5
Vamos expandir essa equação característica para obter a forma polinomial:
Passo 6
Agora, sabemos que a equação diferencial correspondente a essa equação característica é obtida substituindo
por
na equação polinomial:
Resposta
A equação diferencial de menor ordem possível que satisfaz as soluções dadas é: