Determine uma equação diferencial de menor ordem possível, que não contenha constantes arbitrárias e que possua as seguintes soluções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma equação diferencial de menor ordem possível, sem constantes arbitrárias, que tenha soluções na forma
. Isso está relacionado ao estudo de equações diferenciais lineares de coeficientes constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as soluções dadas: temos
,
e uma constante
, que pode ser vista como
. Essas funções são soluções da equação diferencial homogênea que estamos procurando.
Passo 3
Sabemos que para equações diferenciais lineares com coeficientes constantes, as soluções exponenciais estão relacionadas às raízes da equação característica. Cada termo
corresponde a uma raiz
.
Passo 4
Então, as raízes da nossa equação característica são
,
e
. Como são todas distintas, a ordem mínima da equação diferencial será igual ao número de raízes, que nesse caso é 3.
Passo 5
Agora, vamos montar a equação característica usando essas raízes. A equação característica fica:
onde
representa a derivada em relação a
.
Passo 6
Vamos expandir essa expressão para encontrar a forma da equação diferencial:
Multiplicando os termos:
Passo 7
Assim, a equação diferencial correspondente é:
onde
é a terceira derivada de
em relação a
,
é a segunda derivada, e
é a primeira derivada.
Resposta
A equação diferencial de menor ordem possível é: