Determine uma equação diferencial de menor ordem possível, que não contenha constantes arbitrárias e que possua as seguintes soluções: y = A e^(2 x) + B e^(x) + C

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma equação diferencial de menor ordem possível, sem constantes arbitrárias, que tenha soluções na forma . Isso está relacionado ao estudo de equações diferenciais lineares de coeficientes constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as soluções dadas: temos , e uma constante , que pode ser vista como . Essas funções são soluções da equação diferencial homogênea que estamos procurando.

Passo 3

Sabemos que para equações diferenciais lineares com coeficientes constantes, as soluções exponenciais estão relacionadas às raízes da equação característica. Cada termo corresponde a uma raiz .

Passo 4

Então, as raízes da nossa equação característica são , e . Como são todas distintas, a ordem mínima da equação diferencial será igual ao número de raízes, que nesse caso é 3.

Passo 5

Agora, vamos montar a equação característica usando essas raízes. A equação característica fica:
onde representa a derivada em relação a .

Passo 6

Vamos expandir essa expressão para encontrar a forma da equação diferencial:
Multiplicando os termos:

Passo 7

Assim, a equação diferencial correspondente é:
onde é a terceira derivada de em relação a , é a segunda derivada, e é a primeira derivada.

Resposta

A equação diferencial de menor ordem possível é:

Exercícios relacionados