Determine uma equação diferencial de menor ordem possível, que não contenha constantes arbitrárias e que possua as seguintes soluções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma equação diferencial de menor ordem possível que não tenha constantes arbitrárias e que tenha como soluções todas as funções da forma
. Aqui, estamos lidando com equações diferenciais, que são equações que relacionam uma função com suas derivadas. Para resolver, vamos precisar eliminar as constantes
,
e
usando derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos anotar a solução geral dada:
Nosso objetivo é eliminar as constantes
,
e
. Para isso, vamos derivar essa expressão até conseguir uma equação que não contenha mais essas constantes.
Passo 3
Vamos calcular a primeira derivada de
em relação a
:
Agora, temos uma expressão que relaciona
com
.
Passo 4
Calculamos a segunda derivada de
:
Perceba que a segunda derivada é uma constante multiplicada por
.
Passo 5
Agora, observamos que
é constante, ou seja, não depende de
. Isso nos dá uma pista para eliminar as constantes. Podemos reorganizar a expressão de
:
Substituímos esse valor de
de volta na expressão original de
:
Passo 6
Agora, usamos a expressão da primeira derivada
e substituímos
por
:
Podemos isolar
:
Substituímos
de volta na expressão de
:
Simplificando:
Passo 7
Finalmente, para eliminar
, derivamos novamente:
Isso simplifica para:
Ou seja:
Como queremos uma equação diferencial válida para qualquer
, concluímos que:
Resposta
A equação diferencial de menor ordem que satisfaz as condições é: