Determine uma equação diferencial de menor ordem possível, que não contenha constantes arbitrárias e que possua as seguintes soluções: y = A x^2 + B x + C

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma equação diferencial de menor ordem possível que não tenha constantes arbitrárias e que tenha como soluções todas as funções da forma . Aqui, estamos lidando com equações diferenciais, que são equações que relacionam uma função com suas derivadas. Para resolver, vamos precisar eliminar as constantes , e usando derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar a solução geral dada:
Nosso objetivo é eliminar as constantes , e . Para isso, vamos derivar essa expressão até conseguir uma equação que não contenha mais essas constantes.

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada de em relação a :
Agora, temos uma expressão que relaciona com .

Passo 4

Calculamos a segunda derivada de :
Perceba que a segunda derivada é uma constante multiplicada por .

Passo 5

Agora, observamos que é constante, ou seja, não depende de . Isso nos dá uma pista para eliminar as constantes. Podemos reorganizar a expressão de :
Substituímos esse valor de de volta na expressão original de :

Passo 6

Agora, usamos a expressão da primeira derivada e substituímos por :
Podemos isolar :
Substituímos de volta na expressão de :
Simplificando:

Passo 7

Finalmente, para eliminar , derivamos novamente:
Isso simplifica para:
Ou seja:
Como queremos uma equação diferencial válida para qualquer , concluímos que:

Resposta

A equação diferencial de menor ordem que satisfaz as condições é:

Exercícios relacionados