Determine uma equação diferencial de menor ordem possível, que não contenha constantes arbitrárias e que possua as seguintes soluções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma equação diferencial de menor ordem possível que não tenha constantes arbitrárias e que tenha as soluções da forma
. Aqui,
e
são constantes quaisquer. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais e derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a solução dada para facilitar o trabalho. Temos
. Se a gente aplicar a função exponencial nos dois lados, fica assim:
Aqui,
é apenas uma constante, então podemos chamar de
. Então, a solução fica:
Passo 3
Agora, vamos derivar essa expressão para encontrar uma relação com
e suas derivadas. Primeiro, a primeira derivada de
em relação a
é:
Então, temos:
Passo 4
A próxima etapa é eliminar as constantes arbitrárias
e
para chegar a uma equação que envolva apenas
e suas derivadas. Primeiro, vamos resolver a equação
para
:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a segunda derivada de
para continuar eliminando as constantes. Derivando
:
Substituindo
da etapa anterior:
Passo 6
Agora, juntando tudo, temos uma relação que não envolve mais as constantes
ou
:
Essa é a equação diferencial que buscamos.
Resposta
A equação diferencial de menor ordem possível é: