Determine uma equação diferencial de menor ordem possível, que não contenha constantes arbitrárias e que possua as seguintes soluções: ln y = A x^2 + B

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma equação diferencial de menor ordem possível que não tenha constantes arbitrárias e que tenha as soluções da forma . Aqui, A e B são constantes quaisquer. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a solução dada para facilitar o trabalho. Temos . Se a gente aplicar a função exponencial nos dois lados, fica assim:
Aqui, é apenas uma constante, então podemos chamar de K. Então, a solução fica:

Passo 3

Agora, vamos derivar essa expressão para encontrar uma relação com y e suas derivadas. Primeiro, a primeira derivada de y em relação a x é:
Então, temos:

Passo 4

A próxima etapa é eliminar as constantes arbitrárias A e K para chegar a uma equação que envolva apenas y e suas derivadas. Primeiro, vamos resolver a equação para A:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a segunda derivada de y para continuar eliminando as constantes. Derivando :
Substituindo A da etapa anterior:

Passo 6

Agora, juntando tudo, temos uma relação que não envolve mais as constantes A ou K:
Essa é a equação diferencial que buscamos.

Resposta

A equação diferencial de menor ordem possível é:

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